Abbildungsmatrix bestimmen in Basis

Question

Sei (e1,e2,e3,e4) die Standardbasis von ℝ^4

v1= e1+e3, v2= e2-e4, V= ⟨v1,v2⟩⊂ℝ^4

A= \( \begin{pmatrix} -2 &-3 & 2 & -2 \\ 3 & 4& -2  & 5\\ -3 &-4  &3& -3\\ -1 & -1 & 0 & -2 \end{pmatrix} \)

und LA: ℝ^4 → ℝ^4 die entsprechende lineare Abbildung.

Beweisen Sie dass gilt LA (V) = V und berechnen Sie die Abbildungsmatrix von

LA| V : V→V in der Basis (v1,v2)

Hilfe. Ich verstehe absolut gar nicht wie ich hier anfangen soll und noch weniger wie ich dann die Abbildungsmatrix bestimmen soll. Hat jemand eine Idee ?

Answer 1

Aloha :)

Wir sollen zeigen, dass die Abbildungsmatrix \(A\) den Vektorraum \(V\) auf \(V\) abbildet.

Dazu lassen wir die Abbildungsmatrix$$A=\left(\begin{array}{rrrr}-2 & -3 & 2 & -2\\3 & 4 & -2 & 5\\-3 & -4 & 3 & -3\\-1 & -1 & 0 & -2\end{array}\right)$$auf die Basisvektoren$$\vec v_1=\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}\quad;\quad\vec v_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\\-1\end{pmatrix}$$wirken und versuchen, das Ergebnis aus den Basisvektoren \(\vec v_1\) und \(\vec v_2\) linear zu kombinieren. Wenn die Matrix tatsächlich \(V\) auf \(V\) abbildet, werden wir solche Linearkombinationen finden, sonst nicht.

$$A_V\binom{1}{0}_V=A\cdot\vec v_1=\begin{pmatrix}0\\1\\0\\-1\end{pmatrix}=0\cdot \vec v_1+1\cdot\vec v_2=\binom{0}{1}_V$$$$A_V\binom{0}{1}_V=A\cdot\vec v_2=\begin{pmatrix}-1\\-1\\-1\\1\end{pmatrix}=(-1)\cdot \vec v_1+(-1)\cdot\vec v_2=\binom{-1}{-1}_V$$

Die Abbildungsmatrix \(A_V\) enthält die Bilder des Basisvektoren, daher ist$$A_V=\left(\begin{array}{rr}0 & -1\\1 & -1\end{array}\right)$$

Comments

Erstmal vielen Dank!!

Noch eine (wahrscheinlich dumme) Frage : Wo kommen die AV ( 1 0) und AV (0 1) her? :)

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Die Abbildungsmatrix \(A\) erwartet Eingangsvektoren, die bezüglich der Standardbasis des \(\mathbb R^4\) angegeben sind, und liefert auch Ergebnisvektoren bezüglich dieser Standardbasis des \(\mathbb R^4\). Daher hat \(A\) auch 4 Zeilen und 4 Spalten, denn der \(\mathbb R^4\) hat 4 Standard-Basisvektoren \(\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3,\vec e_4\).

Die Matrix \(A_V\) erwartet hingegen Eingangsvektoren, die bezüglich der Basis \(V\) angegeben sind. Da die Basis \(V\) nur 2 Vektoren enthält:$$V=\left(\,\vec v_1\,,\,\vec v_2\,\right)$$haben alle Vektoren dieses Vektorraums 2 Komponenten. Der Basisvektor \(\vec v_1\) lautet in \(V\) einfach \(\binom{1}{0}_V\) und der Basisvektor \(\vec v_2\) lautet in \(V\) einfach \(\binom{0}{1}_V\). Das \(V\) habe ich als Index dazu geschrieben, damit klar wird, dass sich die Komponenten des Vektors nicht auf die Standardbasis des \(\mathbb R^4\), sondern auf die Basis \(V\) beziehen:$$\vec v_1=\binom{1}{0}_V=\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}\quad;\quad \vec v_2=\binom{0}{1}_V=\begin{pmatrix}0\\1\\0\\-1\end{pmatrix}$$Die Vektoren \(\vec v_1\) und \(\vec v_2\) ändern sich nicht, aber das Koordinatensystem um sie herum hat 2 Koordinaten-Achsen im Falle von \(V\) oder 4 Koordinaten-Achsen im Falle der Standardbasis. Zur Beschreibung des Vektors reichen daher in \(V\) zwei Koordinaten aus, wohingegen in der Standardbasis vier Koordinaten nötig sind.

Answer 2

Berechne die Bilder der Basisvektoren und stelle die wieder mit der Basis dar.

Es ist L(v1)=v2  und L(v2)=-v1-v2 also die Matrix

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Comments

Wie genau stelle ich denn die Bilder der Basisvektoren durch die Basis dar?