Wahrscheinlichkeitsmodell mit drei Ereignissen, berechne die Wkt. dass genau eines der drei Ereignisse eintritt

Question

Aufgabe:

Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeits-Modell (omega,P) und drei Ereignisse A,B,C teilmenge von omega mit

P(A∪B) =0,85 , P(A∪C)=0,75 , P(B∪C) =0,8 und P(A∪B∪C)=0,9

Berechnen sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau eines der drei Ereignisse A,B,C eintritt. Der Rechenweg muss deutlich erkennbar sein.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz:

P[(A∩B^c∩C^c)∪(A^c∩B^c∩C)∪(A^c∩B∩C^c)]

Diese Wahrscheinlichkeit will ich jetzt berechnen. Dazu habe ich dann die Einzelwahrscheinlichkeiten ausgerechnet also:

P(A) = P(A∪B∪C) - P(B∪C) = 0,1

... P(B) = 0.15

... P(C)= 0.05

Mein Problem ist, dass ich nicht weiß wie es weitergeht nachdem ich die zu berechnende Wahrscheinlichkeit aufgeschrieben habe. Außerdem weiß ich nicht genau wie ich mit der Schnittmenge rechnen soll.

Answer 1

Dein Ansatz war schon fast richtig.

P(A) = P(A∪B∪C) - P(B∪C) = 0,1

Zeichne dir mal ein Venn-Diagramm auf und schau ob das stimmen kann.

P(A \ (B ∪ C)) = P(A ∪ B ∪ C) - P(B ∪ C) = 0.9 - 0.8 = 0.1

P(B \ (A ∪ C)) = P(A ∪ B ∪ C) - P(A ∪ C) = 0.9 - 0.75 = 0.15

P(C \ (A ∪ B)) = P(A ∪ B ∪ C) - P(A ∪ B) = 0.9 - 0.85 = 0.05

P(nur A oder nur B oder nur C) = 0.1 + 0.15 + 0.05 = 0.3

Comments

Aber in diesem Fall hast du doch die Wahrscheinlichkeit berechnet, wenn alle drei Ereignisse eintreten und nicht wenn genau ein Ereignis eintritt oder nicht ?

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Ich habe berechnet das nur A, nur B oder nur C eintritt.

Nicht das A, B und C eintreten.