Aloha :)
Wir zerlegen beide Polynome in "Primfaktoren":$$f(x)=x^3-x^2-8x+12=(x-2)^2(x+3)$$$$g(x)=x^3+3x^2-4x-12=(x+3)(x-2)(x+2)$$Der ggT von \(f\) und \(g\) ist das Produkt aus allen Faktoren, die in beiden Zerlegungen gemeinsam auftauchen:$$\Rightarrow\quad\text{ggT}\,(f,g)=(x-2)(x+3)=x^2+x-6$$
Das Produkt aus kgV\((f,g)\) und ggT\((f,g)\) ist gleich dem Produkt aus \(f\) und \(g\). Daher gilt:
$$\text{ggT}(f,g)\cdot\text{kgV}(f,g)= f\cdot g$$$$\underbrace{(x-2)(x+3)}_{=ggT(f,g)}\cdot\text{kgV}(f,g)=\underbrace{(x-2)^2(x+3)}_{=f(x)}\cdot\underbrace{(x+3)(x-2)(x+2)}_{=g(x)}$$$$\Rightarrow\quad\text{kgV}(f,g)=(x-2)^2(x+3)\cdot(x+2)=x^4+x^3-10x^2-4x+24$$
