Question

Bestimmen Sie den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache der
Polynome
f(X) = X3 − X2 − 8X + 12, g(X) = X3 + 3X2 − 4X − 12 ∈ R[X]

Den ggT habe ich bestimmt. Dieser lautet: -4X²-4X+24. Korrekt?

Nur wie berechne ich den kgV?

Answer 1

Den ggT habe ich bestimmt. Dieser lautet: -4X²-4X+24. Korrekt?

Dann müsste X³ − X² − 8X + 12=(-4X²-4X+24)(-0,25X+0,5) und

X³ + 3X² − 4X − 12= (-4X²-4X+24)(-0,25X-0,5) gelten.

Tut es das?

Falls es das tut, dann ist das kgV der Term  (-4X²-4X+24)(-0,25X-0,5)(-0,25X+0,5)

Answer 2

Aloha :)

Wir zerlegen beide Polynome in "Primfaktoren":$$f(x)=x^3-x^2-8x+12=(x-2)^2(x+3)$$$$g(x)=x^3+3x^2-4x-12=(x+3)(x-2)(x+2)$$Der ggT von \(f\) und \(g\) ist das Produkt aus allen Faktoren, die in beiden Zerlegungen gemeinsam auftauchen:$$\Rightarrow\quad\text{ggT}\,(f,g)=(x-2)(x+3)=x^2+x-6$$

Das Produkt aus kgV\((f,g)\) und ggT\((f,g)\) ist gleich dem Produkt aus \(f\) und \(g\). Daher gilt:

$$\text{ggT}(f,g)\cdot\text{kgV}(f,g)= f\cdot g$$$$\underbrace{(x-2)(x+3)}_{=ggT(f,g)}\cdot\text{kgV}(f,g)=\underbrace{(x-2)^2(x+3)}_{=f(x)}\cdot\underbrace{(x+3)(x-2)(x+2)}_{=g(x)}$$$$\Rightarrow\quad\text{kgV}(f,g)=(x-2)^2(x+3)\cdot(x+2)=x^4+x^3-10x^2-4x+24$$