Tangentengleichung, Steigung der Kurve in A,B

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Steigung der Kurve C in den Punkten A und B und die Gleichungen der Tangenten in diesen Punkten:

C: y^3=2x^2+5xy , A=(1, -2), B=(4, -2)

Problem/Ansatz:

ich bin mir bei der oben genannten Aufgabe unsicher mit dem Ansatz bzw. der Lösung.

Folgendes hab ich bisher berechnet:

gradf(x,y):

4x+5y

5y

Für die Steigung habe ich jeweils die Punkte im Gradienten eingesetzt:

grad(1, -2):

-6

-10

grad(4, -2):

6

-10

Tangentengleichungen:

zu A: z= -8-6*(x-1)-10*(y-2)

zu B: z= -8+6*(x-4)-10*(y+2)

Könnt ihr mir bitte weiterhelfen bzw. mir sagen ob es richtig ist soweit?

Und ist mit der Tangentengleichung, die Tangentialebene gemeint?

Vielen Dank schon mal!

Answer 1

Ich hätte das wie folgt gemacht:

C: y^3 = 2·x^2 + 5·x·y

F: 2·x^2 + 5·x·y - y^3 = 0
Grad F'(x, y) = [4·x + 5·y, 5·x - 3·y^2]

f'(x, y) = -Fx / Fy = -(4·x + 5·y) / (5·x - 3·y^2)

f'(1, -2) = -6/7
Tangente: t(x) = -6/7·(x - 1) - 2

f'(4, -2) = -3/4
Tangente: t(x) = -3/4·(x - 4) - 2

Comments

Danke, könntest du bitte auch die Schritte einzeln erläutern?

Also erstmal die Gleichung nach 0 umstellen bzw. die y^3 rüberholen?

Und dann sehe ich da eine implizite Ableitung, wieso muss muss man die machen?

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Du musst bei y^3 = 2·x^2 + 5·x·y die implizite Ableitung verwenden, weil du die Funktion nicht einfach nach y auflösen kannst.

Das Vorgehen ist unter https://de.wikipedia.org/wiki/Implizite_Differentiation erläutert.