Reihe in expliziter Form

Question

Ich würde gerne die Teilsummenfolge der Reihe 1+3+6+10+15+...n in expliziter Form vorliegen haben.

Der erste Schritt ist, dass sich das Ganze rekursiv als a_n=a_n-1+n schreiben lässt. Des Weiteren kann man dies auch als

"Die Summe von k*(k+1) geteilt durch 2 von k=1 bis n schreiben". Weiter komme ich leider noch nicht. Deshalb würde ich mich sehr über eine Antwort freuen.

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https://de.wikipedia.org/wiki/Dreieckszahl

Answer 1

∑ (k = 1 bis n) 1/2·k·(k + 1)

= ∑ (k = 1 bis n) 1/2·(k^2 + k)

= 1/2·∑ (k = 1 bis n) k^2 + 1/2·∑ (k = 1 bis n) k

= 1/2·1/6·n·(n + 1)·(2·n + 1) + 1/2·1/2·n·(n + 1)

= 1/12·n·(n + 1)·(2·n + 1) + 1/4·n·(n + 1)

= 1/6·n^3 + 1/2·n^2 + 1/3·n