Logisch nachdenken und ausprobieren. Ich habe das so gemacht:
1.) Als erstes fällt auf, dass die Folge alterniert. 0, -, +, -, +, -, ... Also muss dort ein (-1)^n vorkommen. Damit habe ich $$a_n = (-1)^n$$
$$a_n = -1, 1, -1, 1, -1, ... $$
2.) Ich betrachte den Nenner, das sind Zweierpotenzen, 2^1 = 2, 2^2 = 4, 2^3 = 8, 2^4 = 16, ... damit habe ich:
$$a_n = (-1)^n \cdot \frac{1}{2^n}$$
$$a_n = - 1/2, 1/4, -1/8, 1/16, ...$$
3.) Ich betrachte den Zähler. Das sind Zweierpotenzen - 1, 2^1 - 1 = 1, 2^2 - 1 = 3, 2^3 - 1 = 8, 2^4 - 1 = 15, ... damit habe ich:
$$a_n = (-1)^n \cdot \frac{2^n - 1}{2^n}$$
$$a_n = - 1/2, 3/4, - 7/8, 15/16, ...$$
4.) a_2 soll ja -1/2 sein, nicht a_1. Also verschiebe ich die gesamte Folge um eins nach hinten:
$$a_n = (-1)^{n-1} \cdot \frac{2^{n-1}-1}{2^{n-1}}$$
$$a_n = 0, - 1/2, 3/4, -7/8, 15/16, ...$$
Das stimmt. Man kann noch vereinfachen, dann kommt dabei raus:
$$a_n = (-1)^{n-1} \cdot (1 - \frac{1}{2^{n-1}})$$
Für schwierigere Folgen ist auch oeis.org dein Freund ^^
