Aloha :)
Im ersten Schritt setzt du die x-Werte in die Parabelgleichung: \(p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2\) ein:
$$\begin{array}{l}p(-1) &=& 1\cdot a_0 & -1\cdot a_1 & +1\cdot a_2\\p(0) &=& 1\cdot a_0 & +0\cdot a_1 & +0\cdot a_2\\p(1) &=& 1\cdot a_0 & +1\cdot a_1 & +1\cdot a_2\\p(2) &=& 1\cdot a_0 & +2\cdot a_1 & +4\cdot a_2\end{array}$$Das kannst du als Matrix auf die linke Seite einer Gleichung schreiben. Auf die rechte Seite der Gleichung kommen die gemessenen \(y\)-Werte als Vektor:
$$\left(\begin{array}{c}1 & -1 & 1\\1 & 0 & 0\\1 & 1 & 1\\1 & 2 & 4\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}a_0\\a_1\\a_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\1\\2\\4\end{array}\right)$$Du hast hier 4 Gleichungen, aber nur 3 Unbekannte. Das ist ein sog. überbestimmtes Gleichungssystem. Zur Lösung könntest du z.B. die ersten 3 Gleichungen wählen, damit die 3 Unbekannten \(a_0,a_1,a_2\) bestimmen und auf dein Glück hoffen, dass diese 3 Unbekannten dann auch die 4-te Gleichung erfüllen. Du merkst, das wird in der Regel nicht funktionieren. Daher suchst du eine Lösung für die 3 Unbekannten, die alle 4 Gleichungen möglichst gut erfüllen. Dazu sollst du laut Aufgabenstellung die Normalengleichung verwenden. Diese bekommst du, indem du beide Seiten des Gleichungssystems mit der transponierten Koeffizientenmatrix multiplizierst:
$$\left(\begin{array}{c}1 & 1 & 1 & 1\\-1 & 0 & 1 & 2\\1 & 0 & 1 & 4\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1 & -1 & 1\\1 & 0 & 0\\1 & 1 & 1\\1 & 2 & 4\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}a_0\\a_1\\a_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & 1 & 1 & 1\\-1 & 0 & 1 & 2\\1 & 0 & 1 & 4\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}3\\1\\2\\4\end{array}\right)$$Beide Seiten kannst du durch Matrixmultiplikation vereinfachen:
$$\left(\begin{array}{c}4 & 2 & 6\\2 & 6 & 8\\6 & 8 & 18\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}a_0\\a_1\\a_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}10\\7\\21\end{array}\right)$$Jetzt hast du ein quadratisches Gleichungssystem, dass du mittels elementaren Zeilenumformungen (Gauß-Algorithmus) lösen kannst.
$$\left(\begin{array}{c}4 & 2 & 6 &\;10\\2 & 6 & 8 & \;7\\6 & 8 & 18 &\;21\end{array}\right)$$Erstes Ziel ist es, unterhalb der Hauptdiagonalen nur 0en stehen zu haben. Dazu subtrahierst du das 3-fache der Zeile 2 von Zeile 3:
$$\left(\begin{array}{c}4 & 2 & 6 &\;10\\2 & 6 & 8 & \;7\\6-6 & 8-18 & 18-24 &\;21-21\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4 & 2 & 6 &\;10\\2 & 6 & 8 & \;7\\0 & -10 & -6 &\;0\end{array}\right)$$Dann subtrahierst du die Hälfte der Zeile 1 von Zeile 2:
$$\left(\begin{array}{c}4 & 2 & 6 &\;10\\2-2 & 6-1 & 8-3 & \;7-5\\0 & -10 & -6 &\;0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4 & 2 & 6 &\;10\\0 & 5 & 5 & \;2\\0 & -10 & -6 &\;0\end{array}\right)$$
$$\left(\begin{array}{c}4 & 2 & 6 &\;10\\0 & 5 & 5 & \;2\\0 & -10 & -6 &\;0\end{array}\right)$$Jetzt addierst du das Doppelte von Zeile 2 zu Zeile 3:
$$\left(\begin{array}{c}4 & 2 & 6 &\;10\\0 & 5 & 5 & \;2\\0+0 & -10+10 & -6+10 &\;0+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4 & 2 & 6 &\;10\\0 & 5 & 5 & \;2\\0 & 0 & 4 &\;4\end{array}\right)$$Jetzt dividierst du Zeile 1 durch 4, Zeile 2 durch 5 und Zeile 3 durch 4, damit auf der Hauptdiagonalen nur noch 1en stehen [Das vereinfacht die folgenden Rechnungen etwas]:
$$\left(\begin{array}{c}4:4 & 2:4 & 6:4 &\;10:4\\0:5 & 5:5 & 5:5 & \;2:5\\0:4 & 0:4 & 4:4 &\;4:4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & 0,5 & 1,5 &\;2,5\\0 & 1 & 1 & \;0,4\\0 & 0 & 1 &\;1\end{array}\right)$$Unser nächstes Ziel ist es, auch oberhalb der Hauptdiagonalen nur 0en stehen zu haben. Dazu subtrahiere Zeile 3 von Zeile 2:
$$\left(\begin{array}{c}1 & 0,5 & 1,5 &\;2,5\\0 & 1 & 1-1 & \;0,4-1\\0 & 0 & 1 &\;1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & 0,5 & 1,5 &\;2,5\\0 & 1 & 0 & \;-0,6\\0 & 0 & 1 &\;1\end{array}\right)$$Nun subtrahiere die Hälfte der Zeile 2 von Zeile 1:
$$\left(\begin{array}{c}1-0 & 0,5-0,5 & 1,5-0 &\;2,5-(-0,3)\\0 & 1 & 0 & \;-0,6\\0 & 0 & 1 &\;1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 1,5 &\;2,8\\0 & 1 & 0 & \;-0,6\\0 & 0 & 1 &\;1\end{array}\right)$$Im letzten Schritt wird das 1,5-fache der Zeile 3 von Zeile 1 subtrahiert:
$$\left(\begin{array}{c}1-0 & 0-0 & 1,5-1,5 &\;2,8-1,5\\0 & 1 & 0 & \;-0,6\\0 & 0 & 1 &\;1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0 &\;1,3\\0 & 1 & 0 & \;-0,6\\0 & 0 & 1 &\;1\end{array}\right)$$Daraus kannst du nun die gesuchten Koeffizienten ablesen:
$$a_0=1,3\quad;\quad a_1=-0,6\quad;\quad a_2=1$$$$\Rightarrow\quad p(x)=1,3-0,6x+x^2$$
