Bruchterme vereinfachen, binomische Formeln anwenden, kürzen

Question

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könnte mir vielleicht jemand diese 3 Aufgaben erklären? Bei allen anderen Aufgaben konnte ich mir noch selber helfen, aber bei diesen hier komme ich überhaupt gar nicht weiter.

Vielen lieben Dank schon mal!

Diese Brüche sollen gekürzt bzw. vereinfacht werden:

1)    2x + \( \dfrac{3}{1+\dfrac{4}{x}} \)

2)    \( \dfrac{4x}{1-x} \) - \( \dfrac{x}{x^2-1} \)

3)   \( \dfrac{\dfrac{1}{u}-\dfrac{1}{v}}{\dfrac{1}{u}+\dfrac{1}{v}} \)

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EDIT: Habe gerade deine Bruchterme etwas vergrössert. Bitte dfrac statt frac benutzen. Die Terme werden leicht besser lesbar (grösser) angezeigt. Alternative: Zeilen in Doppeldollar einbetten.

$$   Term nun nun nochmals Doppeldollar

Answer 1

2)

$$ \frac{4x}{1-x}-\frac{x}{x^2-1} = \frac{-4x}{x-1}-\frac{x}{(x+1)(x-1)} = \frac{-4x(x+1)}{(x+1)(x-1)}-\frac{x}{(x+1)(x-1)} = \frac{-4x^2-5x}{(x+1)(x-1)} = \frac{-x(4x+5)}{x^2-1} $$

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3)

$$ \frac{\frac{1}{u}-\frac{1}{v}}{\frac{1}{u}+\frac{1}{v}} = \frac{\frac{v-u}{uv}}{\frac{u+v}{uv}} = \frac{v-u}{uv} \cdot \frac{uv}{u+v} = \frac{v-u}{v+u} $$

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Du solltest dir mal die App Photomath zulegen. Die hilft manchmal beim Umformen solcher Terme sehr gut.

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Vielen lieben Dank für die Lösungen und auch den Tipp, die lade ich mir direkt runter :)

Aber könnte es sein, dass sich bei 2) ein kleines Vorzeichen rein geschummelt hat?

Nach dem 1. = steht im Zähler -4x statt 4x.

Nach der Musterlösung müsste beim Endergebnis im Zähler 4x^2+5x stehen.

Wenn ich die gleiche Vorgehensweise, nur ohne dem o.g. - , nehme, dann passt es :)

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Was steht dann im Nenner x^2 - 1 oder 1 - x^2

Meine Rechnung scheint soweit richtig zu sein. Wolframalpha bekommt das gleiche heraus

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(4x)%2F(1-x)-(x)%2F(x%5E2-1)

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Im Nenner vom Ergebnis steht laut Musterlösung 1- x^2 , also \( \frac{4x^2+5x}{1-x^2} \)

Ich bin gerade etwas verwirrt.

Wenn ich in Ihrer Lösung den Nenner umschreibe auf -1-x^2, dann sind ja Zähler und Nenner negativ. Nach meinem Wissen ergibt das ja dann ein positives Ergebnis bei der Divison. Hat das vielleicht damit etwas zu tun?

Ich hoffe, ich werfe da gerade nicht zu viel durcheinander :/

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Ja da wirfst du etwas durcheinander

$$ \frac{-4x^2-5x}{x^2 - 1} = \frac{-(-4x^2-5x)}{-(x^2 - 1)} = \frac{4x^2+5x}{-x^2 + 1} = \frac{4x^2+5x}{1-x^2} $$

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Vielen lieben Dank für die Mühe und auch die Geduld mit mir!

Den Lösungsweg konnte ich gerade sehr gut nachvollziehen. DANKE! :)

Answer 2

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Answer 3

2)  4x/(1-x) - x/(x²-1)

=4x(-x-1)/(x² -1) - x/(x² -1)

=(-4x² -5x)/ (x  ²  - 1)