Bruchterme vereinfachen, Polynomdivision: Warum (5x^3 - 30x^2 + 55x - 30) : (x - 1)?

Question

Ich bin derzeit beim Thema "Vereinfachung von Bruchtermen, Polynomdivision"

Als Aufgabe ist folgendes gestellt:

\( \frac{5 x^{3}-30 x^{2}+55 x-30}{5\left(x^{2}-1\right)(x-3)} \)

Als Lösung ist folgendes angegeben:

Warum wird dort (5x³ - 30x² + 55x - 30) : (x - 1)

und nicht              (5x3 - 30x2 + 55x - 30) : (x² - 1)

gerechnet?

und wie wird das Ergebnis weiterverarbeitet?

Marcel

Comments

Bei Interesse: Wichtige Grundlage zu diesem Thema liefert übrigens der Fundamentalsatz der Algebra. (wiedermal vom Herrn Gauß) :)

Answer 1

Hi Marcel,

(x^2-1) = (x-1)(x+1) (dritte binomische Formel)


Die wollen dort die Sache langsam angehen. Und überhaupt würde die Division durch x^2-1 nur Probleme bescheren.


Die Sache ist die, dass sich eine Polynomdivision nur als sinnvoll erweist, wenn der Divisor einen Nullstelle beschreibt, die im Zähler zu finden ist. Für (x+1) also x=-1 ist das nicht der Fall und damit auch nicht für die Gesamtheit x^2-1.


Hat man die Polynomdivision ausgeführt, hat man die Möglichkeit die Summe als Produkt zu schreiben. Das ist genau das was in der letzten Zeile (nach mehrfacher Polynomdivision) ausgenützt wird.

Dass es von Vorteil ist, die Summe als Produkt zu schreiben, ist Dir sicher klar -> Man kann kürzen :).


Damit Deine Fragen beantwortet?


Grüße

Answer 2

(x^2 - 1) = (x + 1)*(x - 1)

Man kann also durch beide Nullstellen teilen. Allerdings ist im Zähler die Nullstelle -1 nicht vorhanden, daher wird nur durch (x - 1) dividiert.

Wenn beides Möglich ist würde man durch beides oder gleich durch (x^2 - 1) teilen.

Comments

(5x^3 - 30x^2 + 55x - 30) / (5 * (x^2 - 1) * (x - 3))

= (5x^3 - 30x^2 + 55x - 30) / (5 * (x + 1) * (x - 1) * (x - 3))

Ich mache mir von dem Polynom im Zähler einer Wertetabelle von -3 bis 3 und erkenne die Nullstellen bei 1, 2 und 3. Da ein Polynom 3. Grades nur 3 Nullstellen haben kann, kann ich das eigentlich sofort faktorisieren ohne eine Polynomdivision zu machen

= (5 * (x - 1) * (x - 2) * (x - 3)) / (5 * (x + 1) * (x - 1) * (x - 3))

Im Rahmen der stetigen Ergänzung kürzen wir jetzt durch gemeinsame Faktoren im Zähler und Nenner.

= (x - 2) / (x + 1)

Wenn man schlau ist formt man sich das noch etwas um

= (x  + 1 - 3) / (x + 1) = 1 - 3 / (x + 1)

Jetzt kann man auch gleich die schräge Asymptote ablesen.

Answer 3

der Grund, warum dort nicht durch (x^2 - 1) geteilt wird ist folgender:

x^2 -1 zerfällt in die Linearfaktoren x^2 - 1 = (x - 1) (x + 1).

Von diesen teilt nur (x - 1) den oberen Term. (x + 1) hingegen ist kein Linearfaktor des oberen Polynoms, da -1 nicht eine seiner Nullstellen ist.

MfG

Mister