Q(sqrt(3)) bildet einen Körper

Question

Hallo liebe Leute,


zeigen Sie, dass die Menge Q(sqrt(3)) = {a + b sqrt(3) | a,b in Q} zusammen mit der üblichen Multiplikation und Addition von reellen Zahlen einen Körper bilden.


Danke danke :D

Comments

https://www.mathelounge.de/4034/sei-k-q-√2-x-y√2-∈-r-x-y-∈-zeigen-sie-dass-k-ein-teilkorper-von-r-ist

geht ganz ähnlich. Die Übertragung auf Wurzel 3 schaffst du bestimmt.

Du musst allerdings zeigen, dass es sich um einen Körper handelt. In der Aufgabe dort wird vorausgesetzt, dass IR ein Körper ist, kannst aber vermutlich verwenden, dass Q ein Körper ist.

Answer 1

Zu zeigen ist, dass die Menge die Körperaxiome erfüllt, das heißt:

 

I.i) (a+b)+c = a+(b+c)

I.ii) a+b = b+a

I.iii) Es existiert ein Nullelement 0 mit: a+0 = a für alle a.

I.iv) Zu jedem a existiert ein additiv inverses -a mit: a+(-a) = 0

 

II.i) a*(b*c) = (a*b)*c

II.ii) a*b = b*a

II.iii) Es existiert ein neutrales Element 1 mit a*1 = a

II.iv) Zu jedem a existiert ein multiplikativ Inverses 1/a mit a*(1/a) = 1

 

III.i) a*(b+c) = a*b+a*c

III.ii) 1 ≠ 0

 

Sehr leicht sind I.i) und I.ii): sie folgen einfach aus dem Assoziativgesetz und Kommutativgesetz der gewöhnlichen Addition in ℝ.

I.iii) Das Nullelement ist 0 + 0*√3 mit der gewöhnlichen 0 der reellen Zahlen.

I.iv) Das negative Element zu einem Element x = a + b√3 ist -x = -a + (-b)√3 mit dem gewöhnlichen additiv Inversen der reellen Zahlen.

 

II.i) Ich zeige es durch Nachrechnen: Seien x, y, z aus Q(√3) mit
x = a + b√3
y = c + d√3
z = e + f√3

Dann gilt:
(x*y)*z = ((a+b√3)*(c+d√3))*(e+f√3) = (ac+3bd +(ad+bc)√3)*(e+f√3)
= ace+3bde + 3afd+3bfc + (ade+bce + acf+3bdf)√3 = (a+b√3)*(ce+3fd +(de+cf)√3) = (a+b√3)*((c+d√3)*(e+f√3))

II.ii) Folgt wieder aus der gewöhnlichen Kommutativität in den reellen Zahlen.

II.iii) Das neutrale Element ist 1 = 1+0*√3 mit der gewöhnlichen 1 und der gewöhnlichen 0 der reellen Zahlen.

II.iv) Zu x = a+b√3 erhält man das inverse Element x^-1 folgendermaßen:

x^-1 = 1/(a+b√3) = (a-b√3)/(a²+3b²) = a/(a²+3b²) + (-b)/(a²+3b²) √3

Insbesondere ist dieses Element also auch in Q(√3) enthalten.

 

III.i) Sei wieder
x = a+b√3
y = c+d√3
z = e+f√3

Dann gilt:
x*(y+z) = (a+b√3)*((c+d√3)+(e+f√3)) = (a+b√3)*((c+e)+(d+f)√3) = a*(c+e)+3b*(d+f) + (a*(d+f)+b*(c+e))√3
= ac + 3bd + (ad+bc)√3 + ae + 3bf + (af+be)√3 = (a+b√3)*(c+d√3) + (a+b√3)*(e+f√3)

III.iv) 1+0√3 ≠ 0+0√3  ✓