Aloha :)
Eine Polynomfunktion 3-ten Grades sieht wie folgt aus:$$p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$Ihre Ableitungen sind:$$p'(x)=3ax^2+2bx+c$$$$p''(x)=6ax+2b$$Ich empfehle immer, bei solchen Steckbriefaufgaben mit der Forderung an die höchste Ableitung zu beginnen, weil die Gleichungen kürzer sind und man dann einfach Unbekannte durch andere ersetzen kann.
Der Wendepunkt liegt bei \(x=1/3\), also ist dort die zweite Ableitung \(=0\):$$0=p''\left(\frac{1}{3}\right)=6a\cdot\frac{1}{3}+2b=2a+2b\quad\Rightarrow\quad0=2a+2b\quad\Rightarrow\quad \underline{b=-a}$$Die Wendetangente hat die Seigung \(k=2/3\) heißt, dass die erste Ableitung im Wendepunkt bei \(x=1/3\) den Wert \(2/3\) hat:
$$\frac{2}{3}=p'\left(\frac{1}{3}\right)=3a\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2+\underbrace{2b}_{=-2a}\cdot\frac{1}{3}+c=\frac{a}{3}-\frac{2}{3}a+c=-\frac{a}{3}+c$$$$\Rightarrow\quad\frac{2}{3}=-\frac{a}{3}+c\quad\Rightarrow\quad2=-a+3c\quad\Rightarrow\quad3c=a+2\quad\Rightarrow\quad \underline{c=\frac{a+2}{3}}$$Die Funktion schneidet die x-Achse bei \(x=1\), das heißt:$$0=p(1)=a+b+c+d\quad\Rightarrow\quad d=-(a+b+c)=-(a-a+c)\quad\Rightarrow\quad \underline{d=-c}$$Als letztes haben wir noch die Koordinaten des Wendepunktes \(W(1/3\,;\;2/9)\):
$$\frac{2}{9}=p\left(\frac{1}{3}\right)=a\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^3+b\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2+c\cdot\frac{1}{3}+d$$$$\phantom{\frac{2}{9}}=a\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^3-a\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2+c\cdot\frac{1}{3}-c=\left(\frac{1}{27}-\frac{1}{9}\right)a-\frac{2}{3}\cdot\underbrace{\left(\frac{a}{3}+\frac{2}{3}\right)}_{=c}$$$$\phantom{\frac{2}{9}}=\left(\frac{1}{27}-\frac{3}{27}\right)a-\frac{6}{27}a-\frac{4}{9}=-\frac{8}{27}a-\frac{4}{9}\quad\Rightarrow\quad-\frac{8}{27}a=\frac{6}{9}\quad\Rightarrow\quad a=-\frac{9}{4}$$
Jetzt kannst du alles zusammenbauen:$$a=-\frac{9}{4}\quad;\quad b=-a=\frac{9}{4}\quad;\quad c=\frac{a+2}{3}=-\frac{1}{12}\quad;\quad d=-c=\frac{1}{12}$$$$\Rightarrow\quad p(x)=-\frac{9}{4}x^3+\frac{9}{4}x^2-\frac{1}{12}x+\frac{1}{12}$$
