Zentraler Grenzwertsatz und Münzwurf

Question

Aufgabe:

Münze wird n mal geworfen. Wir wollen p bestimmen, also die Wahrscheinlichkeit vom Ereignis Kopf.

X₁ , .... X_n sind Zufallsvariablen, wobei X_i = 1 ist, wenn im i-ten Wurf Kopf fällt und sonst 0.

Wir schätzen p durch den Schätzer p* ab:

p*(X_1. .....X_n) = $$\frac{1}{n}  \sum \limits_{i=1}^{n} X_i$$

Geben sie mittels des zentralen Grenzwertsatzes eine Näherungsformel in Abhängigkeit von p und n an für die Wahrscheinlichkeit, das p* von p um mehr als 0.05 abweicht.

Problem/Ansatz:

Also ich habe folgendes aufgestellt:

$$P(\frac{1}{n}  \sum \limits_{i=1}^{n} X_i < p)  ≥ 0,05 $$

<=> $$1- P(\frac{1}{n}  \sum \limits_{i=1}^{n} X_i ≥ p) ≥ 0,05$$   | dann hier umformen um den ZGS anzuwenden

<=> $$1-P(\frac{\frac{1}{n}  \sum \limits_{i=1}^{n} X_i -np}{\sqrt{np(1-p)}} ≥ \frac{  p-np}{\sqrt{np(1-p)}})$$

Was wir dann ja mit Φ beschreiben können:

<=> $$1- Φ( \frac{  p-np}{\sqrt{np(1-p)}}) ≥ 0,05$$

ist das so richtig und bin ich damit schon fertig ?

Brauche DRINGEND Hilfe/Ratschläge hierbei.

Answer 1

Hi,

Die Wahrscheinlichkeit, dass \( p^\star = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \) umd mehr als \( \alpha = 0.05 \) von \( p \) abweicht ist die

$$ P\{ | p^\star - p | > 0.05  \} $$ Weiter gilt

$$  (1) \quad P\{ | p^\star - p | > \alpha  \} = 1 - P\{ | p^\star - p | \le \alpha  \} = 1 -  P\{ - \alpha \le p^\star - p \le  \alpha  \}  $$ 

Nach dem zentralen Grenzwertsatz gilt, das die Größe

$$ \frac{ \sum_{i_1}^n x_i -n p  }{ \sqrt{n p (1-p) } } = \frac{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i - p  }{ \sqrt{ \frac{ p (1-p)  }{ n  } }  } =  \frac{  p^\star - p }{ \sqrt{ \frac{ p (1-p)  }{ n  } }  } $$ standardnormalverteilt ist.

Also folgt

$$ (2) \quad P\{ | p^\star - p | > \alpha  \} = 1 - \Phi(z) + \Phi(-z)   =  2 ( 1 - \Phi(z)  ) $$ mit \( z = \frac{ \alpha } {  \sqrt{ \frac{ p (1-p)  }{ n  } } } \)

In Summe gilt also

$$ P\{ | p^\star - p | > \alpha  \}  = 2 \left[ 1 - \Phi \left( \frac{ \alpha } {  \sqrt{ \frac{ p (1-p)  }{ n  } } }  \right) \right] $$ wobei \( \Phi() \) die Standarnormalverteilungsfunktion ist.

Comments

Wie genau kommst du bei der (2) darauf, dass du einmal phi(-z) hast ? Den Schritt versteh ich nicht ganz

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$$ \quad P\{ | p^\star - p | = 1 -  P\{ - \alpha \le p^\star - p \le  \alpha  \} = \\ 1 -  P \left\{ - \frac{ \alpha } { \sqrt{ \frac{ p (1 - p) }{ n } } } \le \frac{ p^\star - p } { \sqrt{ \frac{ p (1 - p) }{ n  } }  } \le  \frac{ \alpha } { \sqrt{ \frac{ p (1 - p) }{ n } } } \right\} = \\ 1 - \left[ \Phi(z) -\Phi(-z) \right]  = 1 - \Phi(z) + \Phi(-z)$$