Gleichungen, Textaufgabe mit Flüssigkeit

Question

Aufgabe:

Ein Behälter wird 80 Stunden mit Flüssigkeit gefüllt. Nach der Befüllung wird dem Behälter kontinuierlich wieder Flüssigkeit entnommen. Die Füllmenge kann in Abhängigkeit der Zeit t in Stunden (für 0 ≤ t ≤160) durch folgenden Term angegeben werden:
T= - 1/40 • t ² + 4 • t + 40
1) Bestimmen Sie, wie viel Flüssigkeit sich zu Beginn der Befüllung bereits im Behälter war.
2) Wie viel Flüssigkeit befindet sich nach dem Abschluss der Befüllung bereits im Behälter?
3) Berechnen Sie, in welchem Zeitpunkt sich immer wenigstens 190 Liter im Behälter befinden.

Problem/Ansatz:

Meine Rechnung:
Frage Nr. 1:  Leider weiß ich nicht, wie ich das berechnen soll. :(
Frage Nr. 2: – 1/40 • 80² + 4 • 80 + 40 = - 1/40 • 6.400 + 320 + 40 = - 160 + 320 +40 = 200 Liter.
Frage Nr. 3:
80 Stunden = 200 Liter
X Stunden = 190 Liter
X= 80 • 190 / 200 = 76 Stunden.

Answer 1

Aloha :)

$$T(x)=-\frac{1}{40}t^2+4t+40$$$$\text{zu 1)}\quad T(0)=-\frac{1}{40}\cdot0^2+4\cdot0+40=40$$$$\text{zu 2)}\quad T(80)=-\frac{1}{40}\cdot80^2+4\cdot80+40=-160+320+40=200$$

\(\text{zu 3)}\) Wir rechnen aus, zu welchen Zeiten die Füllmenge 190 Liter beträgt, zwischen diesen beiden Zeitpunkten wird dann diese Füllmenge überschritten:$$\left.-\frac{1}{40}t^2+4t+40=190\quad\right|\;-190$$$$\left.-\frac{1}{40}t^2+4t-150=0\quad\right|\;\cdot(-40)$$$$t^2-160t+6000=0$$Diese Gleichung kannst du mit der pq-Formel lösen:$$t_{1,2}=-\frac{-160}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{160}{2}\right)^2-6000}=80\pm\sqrt{6400-6000}=80\pm20$$Von \(t=60\) Stunden bis zu \(t=100\) Stunden wurde die Füllmenge von 190 Litern überschritten.

Answer 2

1)

T(0) berechnen.

2)

T(80) berechnen

3)

190 ≤ T(t) und dann die Lösungenmenge bestimmen.

Answer 3

1) Bestimmen Sie, wie viel Flüssigkeit sich zu Beginn der Befüllung bereits im Behälter war.

T(0) = -1/40·0^2 + 4·0 + 40 = 40 Liter

2) Wie viel Flüssigkeit befindet sich nach dem Abschluss der Befüllung bereits im Behälter?

T(80) = -1/40·80^2 + 4·80 + 40 = 200 Liter

3) Berechnen Sie, in welchem Zeitpunkt sich immer wenigstens 190 Liter im Behälter befinden.

T(t) = - 1/40·t^2 + 4·t + 40 ≥ 190 → 60 h ≤ t ≤ 100 h

Answer 4

T= - 1/40 • t ^2 + 4 • t + 40
1) Bestimmen Sie, wie viel Flüssigkeit sich zu Beginn der Befüllung bereits im Behälter war.
t = 0
T ( 0 ) = - 1/40 • 0^2 + 4 • 0 + 40 = 40
Bei t = 0 ist die Füllhöhe 40

2) Wie viel Flüssigkeit befindet sich nach dem Abschluss der Befüllung bereits im Behälter?
t = 80
T ( 80 ) = - 1/40 • 80^2 + 4 • 80 + 40 = 200

3) Berechnen Sie, in welchem Zeitpunkt sich immer wenigstens 190 Liter im Behälter befinden.

T ( t ) = - 1/40 • t^2 + 4 • t + 40 = 190
Lösbar mit
Mitternachtsformel, pq-Formel, quadr. Ergänzung
t = 60
t = 100
Zwischen 60 Std und 100 Std ist die Füllhöhe
> 190

Comments

Statt Füllhöhe besser Füllmenge (Liter) verwenden.