Fouriertransformation und Frequenzspektrum

Question

Aufgabe:

(a) Die Fouriertransformation eines aperiodischen Signals liefert bekanntermaßen ein konti-
nuierliches Frequenzspektrum. Zeigen Sie, dass die Fouriertransformation eines periodischen
Signals hingegen ein diskretes Frequenzspektrum liefert:

F(ω)= \( \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}{Cn*e^{j*n*ω0*t}} \)

wobei C n die komplexen Fourierkoeffizienten sind.
Hinweis: Ausgehend von der komplexen Darstellung der Fourierreihe eines periodischen Si-
gnals f (t) = \( \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}{Cn*δ*(ω-n*ω0)} \) , wenden Sie die Fouriertransformation auf beiden Seiten der Gleichung an
und lösen Sie auf bis sich Formel 1 ergibt.

(b) Begründen Sie in Worten den Zusammenhang zwischen der Fourierreihe und dem Ergebnis
aus (a).

(N von Cn und 0 von ω0 sind jeweils Indizes, sehen aber als normale Zeichen wegen Formattierung aus...

)ω

Comments

Soll das so heissen?

$$   f(t) = \sum_{n= -\infty}^\infty C_n \delta( \omega - n \omega_0  )  $$

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Ja genau

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Das macht aber keinen Sinn. Links ist ein Zeitabhängigkeit und rechts nicht. Schick bitte mal die original Aufgabenstellung.

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Vielen Dank für deine Mühe! Anbei die Aufgabe im Original

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Sieht schon besser aus. Heute Abend kümmere ich mich drum.

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Hi,

sei zuerstmal \( f(t) = \cos(\omega_0 t) \), dann ist \( F(\omega) = \pi ( \delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0) \) entsprechend http://web.eah-jena.de/~puhl/lehre/material/pdf/fourier-transf.pdf

Das entspricht der Darstellung \( F(\omega) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n \delta(\omega - n \omega_0)  \) mit \( c_1 = \pi \) und \( c_{-1} = \pi \) und \( c_n = 0 \text{ sonst} \)

Ist nun \( f(t) \) eine beliebige T-periodische Funktion , dann kann man Sie in eine Fourierreihe entwickeln und die Funktion \( f(t) \) hat die Darstellung

$$ f(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_k e^{i n \omega_0 t} $$ mit komplexen Koeffizenten \( a_n \) und  \( \omega = \frac{2 \pi}{T} \)

Die Fouriertransformierte \( F(\omega) \) von \( f(t) \) lautet entsprechend http://web.eah-jena.de/~puhl/lehre/material/pdf/fourier-transf.pdf

$$ F(\omega) =\sum_{n=-\infty}^\infty 2 \pi a_n \delta(\omega - n \omega_0)  $$

D.h. eine beliebige T-periodische Funktion hat die gewünschte Darstellung und damit ein diskretes Spektrum, wenn man \( c_n = 2 \pi a_n \) setzt.

Answer 1

Hi,

sei zuerstmal \( f(t) = \cos(\omega_0 t) \), dann ist \( F(\omega) = \pi ( \delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0) \) entsprechend http://web.eah-jena.de/~puhl/lehre/material/pdf/fourier-transf.pdf

Das entspricht der Darstellung \( F(\omega) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n \delta(\omega - n \omega_0)  \) mit \( c_1 = \pi \) und \( c_{-1} = \pi \) und \( c_n = 0 \text{ sonst} \)

Ist nun \( f(t) \) eine beliebige T-periodische Funktion , dann kann man Sie in eine Fourierreihe entwickeln und die Funktion \( f(t) \) hat die Darstellung

$$ f(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_k e^{i n \omega_0 t} $$ mit komplexen Koeffizenten \( a_n \) und  \( \omega = \frac{2 \pi}{T} \)

Die Fouriertransformierte \( F(\omega) \) von \( f(t) \) lautet entsprechend http://web.eah-jena.de/~puhl/lehre/material/pdf/fourier-transf.pdf

$$ F(\omega) =\sum_{n=-\infty}^\infty 2 \pi a_n \delta(\omega - n \omega_0)  $$

D.h. eine beliebige T-periodische Funktion hat die gewünschte Darstellung und damit ein diskretes Spektrum, wenn man \( c_n = 2 \pi a_n \) setzt.