Wahrscheinlichkeit: Region an TBC

Question

Aufgabe:

Man weiß,dass 0.01% aller Menschen einer bestimmten Region an TBC erkrankt sind.

Bei einem bestimmten TBC-Test reagieren 99% aller Erkrankten positiv,

aber auch leider 3% aller Nichterkrankten.

Eine Person wird zufällig ausgewählt.

Sie reagiert auf den Test positiv.

Problem/Ansatz:

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Person tatsächlich an TBC erkrankt ?

Ist “Nichterkrankten” bedeutet, dass die Menschen nicht krank sind?

 Vielen Dank im Voraus !!!

Answer 1

	Test positiv	Test negativ
erkrankt	99%	1%
gesund	3%	97%

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Person tatsächlich an TBC erkrankt ?
99/102=33/34

Ist “Nichterkrankten” bedeutet, dass die Menschen nicht krank sind?

“Nichterkrankten” bedeutet "nicht krank" (=gesund).

Comments

Die Lösung 33/34 ist komplett falsch.

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Lol, die falscheste Lösung wird als beste Antwort gewählt... echt witzig.

Answer 2

Man weiß,dass 0.01% aller Menschen einer bestimmten Region an TBC erkrankt sind.

Bei einem bestimmten TBC-Test reagieren 99% aller Erkrankten positiv,
erkrankt und Test positiv = 0.01 * 0.99 = 0.0099

aber auch leider 3% aller Nichterkrankten
( 100 - 0.01 =  99 % )
nicht erkrankt und postiv getestet : 0.99 * 0.03 = 0.0297

Test positiv : 0.0099 + 0.0297 = 0.0396
tatsächlich TBC = 0.0099

0.0099 / 0.0396 = 25 %

Die Wahrscheinlichkeit das bei einem positiven Test
eine Erkrankung vorliegt ist 25 %

Comments

Die Lösung 25% ist schon richtiger als 33/34, aber immer noch falsch.

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Bin noch am grübeln.

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Gehen wir einmal schrittweise vor

Erkrankt 0.01 %
Davon beim Test erkannt 99 %
0.01 * 0.99 = 0.0099  ( erkrankt und Test positiv )

Wahr oder falsch ?

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0,01% = 0,0001

Da liegt der Fehler.

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Hallo Andreas, danke für den konkreten
Fehlerhinweis

Korrektur des Stellenfehlers

Man weiß,dass 0.01% aller Menschen einer bestimmten Region an TBC erkrankt sind.

Bei einem bestimmten TBC-Test reagieren 99% aller Erkrankten positiv,
erkrankt und Test positiv
= 0.0001 * 0.99 = 0.000099 %

aber auch leider 3% aller Nichterkrankten
( 100 - 0.01 =  99.99 % )
nicht erkrankt und postiv getestet : 0.9999 * 0.03 = 0.029997 %

Test positiv : 0.000099 + 0.029997 = 0.030096
tatsächlich TBC = 0.000099

0.000099 / 0.0300396 = 0.0033
0.33 %

Die Wahrscheinlichkeit das bei einem positiven Test
eine Erkrankung vorliegt ist 0.33 %

Anmerkung : die Frage oder der Test sind nicht
praxisgerecht.  Von 1000 positiven Tests sind nur 3
zutreffend !!!. Dann kann man sich diesen Test wohl sparen.

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@leragamp,
ist die Aufgabenstellung richtig ?
Stell einmal ein Foto ein.

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Jetzt stimmt die Lösung, vgl. Tschakabumba.

Answer 3

Aloha :)

Am einfachsten wird das mit einer vollständigen 4-Felder-Tafel klar:

	Test pos.	Test neg.
Krank	0,99	0,01	1
Gesund	299,97	9.699,03	9.999
	300,96	9699,04	10.000

Erklärung: 0,01% aller Menschen haben TBC, das ist 1 von 10.000 [rechte Spalte]. Der Test reagiert bei 99% aller Erkrankten positiv, 99% von 1 ist 0,99. Die 0,01 folgt logisch [erste Zeile]. In 3% aller Fälle schlägt der Test bei Gesunden an, 3% von 9.999 sind 299,97. Die 9.699,03 folgt logisch [zweite Zeile]. Die letzte Zeile ist einfach die Summe aus den Spalten.

Daran erkennt man, dass der Test bei 300,96 Personen positiv ist, obwohl nur 0,99 Personen an TBC erkrankt sind. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein positiv Getesteter tatsächlich TBC hat, ist daher:

$$\frac{0,99}{300,96}\approx0,328947\%\approx0,33\%$$

Answer 4

Hier eine Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten und den wichtigsten Wahrscheinlichkeiten in der Übersicht. Lösung ist markiert.