Doppelsumme umformen Anordnung

Question

Hallo Mathegemeinde,

ich habe ein Problem mit einer Umformung einer Doppelsumme.

Der Schritt von Gleichung 1 auf Gleichung zwei ist mir (hoffentlich) klar, es erfolgt ein Indexshift

indem +i in der Rechnung und -i beim Start- und Endindex gerechnet wird.

Die Variable j, welche dann über bleibt, wird in r umbenannt (r beginnt ja nun bei 1 und endet quasi bei n-i, richtig?).

Nun mein größeres Problem, von Gleichung 2 auf Gleichung 3, also von schwarz zu grün, wie kann das entstehen?

Ich habe probiert, konkrete Zahlen einzusetzen, verstehe aber leider nicht, wie das mit der Doppelsumme dann aufgeschrieben wird, weil wir ja nur eine einzelne Variable haben (und nicht wie in Gleichung 1 ein j und ein i).

Ich hoffe, jemand kann mir das vielleicht auch an einem konkreten Zahlenbeispiel erklären, ich wäre euch sehr dankbar!!

!

Answer 1

Aloha :)

$$\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{r=1}^{n-i}r=\sum\limits_{i=1}^{n-1}\left(\sum\limits_{r=1}^{n-i}r\right)$$$$\phantom{\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{r=1}^{n-i}r}=\underbrace{\left(\sum\limits_{r=1}^{n-1}r\right)}_{i=1}+\underbrace{\left(\sum\limits_{r=1}^{n-2}r\right)}_{i=2}+\underbrace{\left(\sum\limits_{r=1}^{n-3}r\right)}_{i=3}+\cdots+\underbrace{\left(\sum\limits_{r=1}^{1}r\right)}_{i=n-1}$$Nimm die Unterklammerungen als eine Art Schublade. Die letzte Summe packst du nun in die erste Schublade, die vorletzte Summe in die zweite Schublade, die drittletzte Summe in die dritte Schublade... Im Prinzip schreibst du die Summen in umgekehrter Reihenfolge (von rechts nach links) auf, lässt aber die Schubladen (Unterklammerungen) ungeändert:$$\phantom{\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{r=1}^{n-i}r}=\underbrace{\left(\sum\limits_{r=1}^{1}r\right)}_{i=1}+\underbrace{\left(\sum\limits_{r=1}^{2}r\right)}_{i=2}+\underbrace{\left(\sum\limits_{r=1}^{3}r\right)}_{i=3}+\cdots+\underbrace{\left(\sum\limits_{r=1}^{n-1}r\right)}_{i=n-1}$$$$\phantom{\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{r=1}^{n-i}r}=\underbrace{\left(\sum\limits_{r=1}^{i}r\right)}_{i=1}+\underbrace{\left(\sum\limits_{r=1}^{i}r\right)}_{i=2}+\underbrace{\left(\sum\limits_{r=1}^{i}r\right)}_{i=3}+\cdots+\underbrace{\left(\sum\limits_{r=1}^{i}r\right)}_{i=n-1}$$$$\phantom{\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{r=1}^{n-i}r}=\sum\limits_{i=1}^{n-1}\left(\sum\limits_{r=1}^{i}r\right)$$

Comments

Vielen Dank für deine ausführliche Antwort Tschakabumba.

Ich hätte noch die Frage, ob r nun eine konstante Zahl darstellt oder sich jedes mal hochzählt also von 1 angefangen bis i?

Ich möchte dein Beispiel nämlich jetzt aufschreiben und weiß nicht was ich für das r einsetzen soll.

---

\(r\) ist der Laufindex der inneren Summe, d.h. \(r\) nimmt der Reihe nach die Werte von \(\{1,2,3,\ldots,i\}\) an. Die äußere Summe mit dem Laufindex \(i\) bestimmt, bis wohin das \(r\) hochgezählt wird. Am einfachsten machst du dir das an einem Beispiel klar, Nehmen wir an, \(n\) wäre 4, dann ist:

$$\sum\limits_{i=1}^{4-1}\sum\limits_{r=1}^ir=\sum\limits_{i=1}^{3}\sum\limits_{r=1}^ir$$$$\phantom{\sum\limits_{i=1}^{4-1}\sum\limits_{r=1}^ir}=\sum\limits_{r=i}^1r+\sum\limits_{r=i}^2r+\sum\limits_{r=i}^3r$$$$\phantom{\sum\limits_{i=1}^{4-1}\sum\limits_{r=1}^ir}=\left(1\right)+\left(1+2\right)+\left(1+2+3\right)$$$$\phantom{\sum\limits_{i=1}^{4-1}\sum\limits_{r=1}^ir}=1+3+6=10$$

---

Danke für das ausführliche Beispiel, es wird immer verständlicher! :)

meine Frage wäre noch, wieso im Laufindex der 3 ausgeschriebenen Summen r=i als Start gewählt wird.

Also das i der inneren summe wandert ja immer eine Stelle hoch, aber im Start wäre es ja immer 1, weil es immer bei 1 startet. Ich hoffe du verstehst was ich meine.

Das i der inneren summe wird also größer in Abhängigkeit vom n der äußeren Summe, aber im Startindex bleibt es 1... Wie kann das sein?

---

Weil ich zu blind war, habe das kleine i für eine 1 gehalten, sorry! Die Summen müssen immer bei \(r=1\) loslaufen. Du hast das völlig richitg erkannt.

---

sehr gut, danke, nun ist meine Verwirrung aufgehoben, besten Dank nochmal!

Answer 2

$$ \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{r=1}^{n-i} r = \sum_{r=1}^{n-1} r +  \sum_{r=1}^{n-2} r  + .... \sum_{r=1}^{1} r   = \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{r=1}^{i} r  $$

Comments

Danke für deine Antwort, ich verstehe es leider immer noch nicht richtig.

kannst du es anhand eines Zahlenbeispiels darstellen?

Vielen Dank!

---

Du summierst die Summen in umgekehrter Reihenfolge. Also zuerst \( \sum_{r=1}^1r\) plus \( \sum_{r=1}^2r\) usw. bis zur letzten Summe \( \sum_{r=1}^{n-1} \)