Rechnen Sie nach, dass w(x) streng monoton wächst

Question

Bei der Verdünnung von Schwefelsäure mit x Gramm Wasser entsteht eine Wärmemenge
von w(x) =(Ax)/(x+B) Joule. Dabei sind A und B gewisse positive Konstanten. Da w (x)
streng monoton wächst , ist die maximale Wärmemenge, die so entstehen kann, w_max= lim_x->∞ w(x)
(a) Rechnen Sie nach, dass w(x) streng monoton wächst.
(b) Berechnen Sie w_max.
(c) Wieviel Wasser ist erforderlich, damit 90 % der maximalen Warmemenge entstehen ?

Answer 1

a)

w(x) = a·x/(x + b)
w'(x) = a·b/(x + b)^2

Der Zähler ist das Produkt zweier positiver Konstanten und ist somit positiv. Der Nenner ist ein Quadrat und somit auch positiv. Der Quotient zweier positiver Zahlen ist positiv. Daher ist die Steigung hier immer positiv und die Funktion streng monoton wachsend.

b)

w(x) = a·x/(x + b)

Vereinfachen mit Polynomdivision

w(x) = a·x/(x + b) = a - a·b/(x + b)

Der Grenzwert für x→∞ ist also hier a.

c)

w(x) = a - a·b/(x + b) = 0.9·a
x = 9·b

Comments

Wie kommt man denn bei b) im Zähler von ax auf a-ab?

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Der Zähler ist nur ab. Ich subtrahiere den Bruch von a. Das bekommt man durch Polynomdivision heraus.