Rechtsseitiger limes gegen 0 von (1/x)^x

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie lim x↓0 (\( \frac{1}{x} \))^x

Problem/Ansatz:

Mir fällt einfach kein Weg ein wie ich das berechnen könnte. Das mit dem rechtsseitigen limes verwirrt mich. Hospital kann ich ja nicht anwenden und durch umformen komme ich nicht drauf. Ich hätte ja gesagt wenn man von rechts gegen 0 geht wird der Bruch zu unendlich und das hoch etwas gegen 0, wäre ja eine n-te Wurzel. Das hilft mir aber auch nichts wenn die Basis unendlich ist.

Habe ich ein falsches Verständnis wie man etwas mit dem rechtsseitigen limes berechnen kann?

Wie ihr merkt ich bin ein bisschen verzweifelt, könnte mir jemand Erleuchtung geben?

Answer 1

für \(\alpha \in (0,\infty)\) gilt:$$\lim\limits_{x\to 0^+}x^{\alpha}\cdot \ln x=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{\ln x}{x^{-\alpha}}\overset{\text{Hôpital}}=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{\frac{1}{x}}{-\alpha x^{-\alpha -1}}=-\frac{1}{\alpha }\lim\limits_{x\to 0^+}x^{\alpha}=0$$Weiterhin folgt, dass $$\lim\limits_{x\to 0^+}\left(\frac{1}{x}\right)^x=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{1}{x^x}=\lim\limits_{x\to 0^+}x^{-x}=\lim\limits_{x\to 0^+}e^{-x\cdot \ln(x)}=e^0=1$$ der Stetigkeit der Exponentialfunktion halber.

https://www.desmos.com/calculator/mgkmop11bd

Comments

Ah vielen Dank, der Schritt von x^-x nach e^-x*ln(x) ist ja mega schlau, da bin ich einfach nicht drauf gekommen.

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Musst du dir unbedingt merken, macht man bei vielen "schweren" Limites.