Ungleichung mit Betrag. | 2x + 1 | ≤ x-3

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Oben steht die Aufgabe plus Lösung. Ich verstehe nicht warum man einfach den Betragsstrich weglassen kann... (Im 2ten Schritt) es macht doch einen Unterschied ob das Ergebnis der linken Seite positiv oder negativ ist?

Wäre lieb wenn mir das jdm erklären könnte :)

Answer 1

Die linke Seite ist durch die Betragsstriche nie negativ.

Damit die rechte Seite nicht negativ ist muss x >= 3 gelten.

Damit ist der linke Term im Betrag aber auch immer positiv und damit kann man die Betragsstriche weglassen.

Wenn du das nicht siehst könntest du es auch über Falluhnterscheidungen lösen. Du wirst aber sehen, das es für negative x eh keine Lösung gibt, weil ja die linke Seite positiv und die rechte Seite negativ ist.

Answer 2

Aloha :)

Der Lösungsweg ist völlig falsch und führt auch zum falschen Ergebnis. Die Ungleichung hat nämlich keine Lösung. Am besten machst du eine Fallunterscheidung zwischen \(x\ge-\frac{1}{2}\) und \(x<-\frac{1}{2}\). Das sieht wie folgt aus.

1.) Fall: \(\underline{x\ge-\frac{1}{2}}\)$$x\ge-\frac{1}{2}\;\;\Leftrightarrow\;\;2x\ge-1\;\;\Leftrightarrow\;\;2x+1\ge0\;\;\Leftrightarrow\;\;|2x+1|=2x+1$$Die Ungleichung wird in diesem Fall also zu:$$2x+1\le x-3\;\;\Leftrightarrow\;\;x\le-4\quad\text{boom!}$$Hier knallt es, weil wir den Fall \(x\ge-\frac{1}{2}\) betrachten, kann \(x\le-4\) nicht gelten. Für \(x\ge-\frac{1}{2}\) gibt es also keine Lösung der Ungleichung.

2.) Fall: \(\underline{x<-\frac{1}{2}}\)$$x<-\frac{1}{2}\;\;\Leftrightarrow\;\;2x<-1\;\;\Leftrightarrow\;\;2x+1<0\;\;\Leftrightarrow\;\;|2x+1|=-(2x+1)$$Die Ungleichung wird in diesem Fall also zu:$$-(2x+1)\le x-3\;\;\Leftrightarrow\;\;2x+1\ge3-x\;\;\Leftrightarrow\;\;3x\ge2\;\;\Leftrightarrow\;\;x\ge\frac{2}{3}\quad\text{boom!}$$Wieder knallt es, weil wir den Fall \(x<-\frac{1}{2}\) betrachten, kann \(x\ge\frac{2}{3}\) nicht gelten. Für \(x<-\frac{1}{2}\) gibt es also auch keine Lösung der Ungleichung.