Schnitt von zwei Unterräumen

Question

Aufgabe:

$$\begin{array}{l}{\text { Geben Sie den Schnitt } U \cap W \text { der Unterriume } U=\left\{x \in \mathbb{R}^{3} | x_{1}+5 x_{2}-3 x_{3}=0\right\} \text { und }} \\ {W=\left\{x \in \mathbb{R}^{3} | 2 x_{1}-x_{3}=0\right\} \text { durch Angabe eines Erzeugendensystems an }}\end{array}$$

Problem/Ansatz:

Den Schnitt aus zwei gebenen Räumen mit Basisvektoren bekommen ich hin. Die Darstellungsweise verwirrt mich etwas und da weiß ich leider nicht wie ich anfangen soll.

Answer 1

Im Schnitt der Unterräume müssen ja beide Gleichungen gelten,

also bestimmst du einfach eine Basis des Gleichungssystems aus

beiden Gleichungen, gibt in Matrixschreibweise

1   5   -3
2   0   -3

Die Gl'en sind lin. unabh., also Lösungsraum eindimensional.

Du kannst eine Variable frei wählen, etwa x3 = t

=="   2x1 -3t = 0 ==>     x1 = 1,5t und damit

1,5t + 5x2 - 3t = 0   ==>   x2 =  0,3t

==>  Lösungen sind ( 1,5t ; 0,3t ; t ) ^T

also ist z.B. ( 1,5 ; 0,3 ; 1)^T ein Vektor, der

ein Erzeugendensystem für den Schnitt der

Räume liefert.