Zeigen, dass der Schnitt von zwei Unterräumen einen Vektorraum ergibt.

Question

Aufgabe:

Zeige: Seien V,W K-Unterräume von U. Dann ist V ∩W auch ein K-Vektorraum.

Problem/Ansatz:

Könnte jemand mir hilfen ?

Answer 1

Es genügt, 3 Axiome nachzuweisen, alle andern gelten sowieso, weil sie schon in V und W gelten.

1. V ∩W ≠{ }

2. V ∩W muss abgeschlossen bzgl + sein

3. k*Vektor aus V ∩W muss in V ∩W liegen

zu 1: stimmt, da das Nullelement der Add in V und W drin ist.

zu 2: Seien v∈V ∩W und w∈V ∩W, dann

     v∈V, v∈W, w∈V,w∈W, dann v+w ∈V, da V abgeschlossen und v+w ∈W, da W abgeschlossen.

    Also v+w ∈V ∩W

zu 3: Sei v∈V ∩W, dann v∈V, v∈W, dann kv∈V wegen Axiom Skalarmult ok in V

     und kv∈W wegen Axiom Skalarmult ok in W. Also kv ∈V ∩W