Vektorraum Aufgaben zu Unterräumen

Question

Aufgabe:

Wie berechnet man sowas?

Welche der folgenden Mengen bilden einen Untervektorraum des \( \mathbb{R}^{3}: \)
\( U_{1}:=\left\{\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3} | v_{1}+v_{2}=2\right\} \)
\( U_{2}:=\left\{\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3} | v_{1}+v_{2}=v_{3}\right\} \)
\( U_{3}:=\left\{\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3} | v_{1} \cdot v_{2}=v_{3}\right\} \)

Problem/Ansatz:

U1 hat ja keinen Ursprung.

Ich denke, es ist U2. Stimmt das?

Answer 1

Hallo,

schaue Dir die Definition von 'Untervektorraum' an. Sind \(u,v \, \in U\), dann muss unter anderen gelten, dass $$u + v \in U$$ist. Dies ist weder bei \(U_1\) noch bei \(U_3\) der Fall, was sich leicht an einem Beispiel zeigen lässt. Etwa bei \(U_3\):$$U_3: \space u= \begin{pmatrix} 1\\2\\ 2 \end{pmatrix}, \space v = \begin{pmatrix} 2\\3\\ 6 \end{pmatrix}, \quad u + v \not \in U_3 $$

Für \(U_2\) kann man z.B. schreiben:$$U_2: \space v_1 = r, \quad v_2 = s, \quad v_3 = r+s  \\ x = \begin{pmatrix} r\\s \\ r+s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}r + \begin{pmatrix} 0\\1 \\1 \end{pmatrix} s = a\cdot r + b \cdot s$$Somit gilt immer:$$u= a\cdot r_u + b \cdot s_u, \quad v = a \cdot r_v + b \cdot s_v \\ u + v = a  (r_u + r_v) + b (s_u + s_v) \, \in U$$die anderen Definitionen des Untervektorraums \(U \ne 0\) und \(\alpha \cdot u \in U\) sind in \(U_2\) ebenso erfüllt.

Ich denke, es ist U2. Stimmt das?

Ja!