0 Daumen
723 Aufrufe

Aufgabe:

Wie berechnet man sowas?


Welche der folgenden Mengen bilden einen Untervektorraum des R3 :  \mathbb{R}^{3}:
U1 : ={(v1,v2,v3)R3v1+v2=2} U_{1}:=\left\{\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3} | v_{1}+v_{2}=2\right\}
U2 : ={(v1,v2,v3)R3v1+v2=v3} U_{2}:=\left\{\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3} | v_{1}+v_{2}=v_{3}\right\}
U3 : ={(v1,v2,v3)R3v1v2=v3} U_{3}:=\left\{\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3} | v_{1} \cdot v_{2}=v_{3}\right\}

Problem/Ansatz:

U1 hat ja keinen Ursprung.


Ich denke, es ist U2. Stimmt das?

Avatar von

1 Antwort

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Hallo,

schaue Dir die Definition von 'Untervektorraum' an. Sind u,vUu,v \, \in U, dann muss unter anderen gelten, dass u+vUu + v \in Uist. Dies ist weder bei U1U_1 noch bei U3U_3 der Fall, was sich leicht an einem Beispiel zeigen lässt. Etwa bei U3U_3:U3 :  u=(122), v=(236),u+v∉U3U_3: \space u= \begin{pmatrix} 1\\2\\ 2 \end{pmatrix}, \space v = \begin{pmatrix} 2\\3\\ 6 \end{pmatrix}, \quad u + v \not \in U_3

Für U2U_2 kann man z.B. schreiben:U2 :  v1=r,v2=s,v3=r+sx=(rsr+s)=(101)r+(011)s=ar+bsU_2: \space v_1 = r, \quad v_2 = s, \quad v_3 = r+s \\ x = \begin{pmatrix} r\\s \\ r+s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}r + \begin{pmatrix} 0\\1 \\1 \end{pmatrix} s = a\cdot r + b \cdot sSomit gilt immer:u=aru+bsu,v=arv+bsvu+v=a(ru+rv)+b(su+sv)Uu= a\cdot r_u + b \cdot s_u, \quad v = a \cdot r_v + b \cdot s_v \\ u + v = a (r_u + r_v) + b (s_u + s_v) \, \in Udie anderen Definitionen des Untervektorraums U0U \ne 0 und αuU\alpha \cdot u \in U sind in U2U_2 ebenso erfüllt.

Ich denke, es ist U2. Stimmt das?

Ja!

Avatar von 49 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage