Basen von Unterräumen bestimmen

Question

Es seien die zwei Unterräume U : =〈{(1,1,0,2), (4,−8,6,−1)}〉und V : = {(x₁, x₂, x₃, x₄) ∈ R⁴|2x₁+x₂=0 und 3x₁+ 3x₂+ 2x₃= 0} des R⁴ gegeben.

(a) Bestimmen Sie jeweils eine Basis von U und V.

(b) Bestimmen Sie eine Basis des Durchschnitts U ∩ V.

(c) Ist U+V der gesamte R⁴ ? [Hinweis. Bestimmen Sie die Dimension von U+V.]

Answer 1

U : =〈{(1,1,0,2), (4,−8,6,−1)}〉und V : = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R^4|2x1+x2=0 und 3x1+ 3x2+ 2x3= 0}

Bestimmen Sie jeweils eine Basis von U und V.

Die beiden Erzeugenden von U sind lin. unabh., bilden also eine Basis von U.

2x1+x2=0 und 3x1+ 3x2+ 2x3= 0  wird erfüllt von x = (x1,x2,x3,x4)

wenn gilt     x4, x3  beliebig (etwa x4=t  und  x3=s )

==>     2x1+x2=0 und 3x1+ 3x2+ 2s= 0

==>     x2=-2x1  und 3x1-6x1 + 2s= 0, also   x1 = 2s/3

I==>  x2 = -4s/3 .   Also sehen die so aus :

(  2s/3  ;  -4s/3  ;    s  ;   t  )  bzw

( 2s  ;   -4s  ;   3s   ;   t   ) = s*(2;-4;3;0) + t*(0;0;0;1)

Also bilden (2;-4;3;0)  , (0;0;0;1)  eine Basis von V.

Für den Durchschnitt bestimme alle a,b,c,d mit

a*(1,1,0,2)+b*(4,−8,6,−1)  =   c*(2;-4;3;0)+d*(0;0;0;1).

Das gibt ein lin. Gl.system mit Rang=3 .

Also hat  U ∩ V die Dimension 1.

Wegen dim(U+V) = dim(U)+dim(V) - dim( U ∩ V)

bekommst du dim (U+V) = 3 , also nicht der ganze R^4.