Sei K ein Körper. (a) Sei V ein K-Vektorraum und a ∈ K. Zeigen Sie, dass die Abbildung linear ist

Question

Sei K ein Körper.

(a) Sei V ein K-Vektorraum und a ∈ K. Zeigen Sie, dass die Abbildung

f : V → V,  f (v) = av

linear ist.

(b) Wir fassen K als Vektorraum über sich selbst auf. Zeigen Sie, dass jede lineare Abbildung f : K→K von der Form f (v) = av für ein a ∈ K ist.

Answer 1

Zeigen Sie, dass die Abbildung

f : V → V,  f (v) = av linear ist:

additiv:   Seien v,w aus V ==>  f(v+w) = a*(v+w)

                                       = a*v + a*w (Vektorraumaxiom !)

                                      = f(v) + f(w)     q.e.d.

homogen:  Sei v aus V und c aus K

==>   f(c*v) = a*(c*v) = (a*c)*v    (Vektorraumaxiom !)

                                  = (c*a)*v  ( * in K ist kommutativ )

                                  = c*(a*v)  (Vektorraumaxiom !)

                                   = c*f(v)       q.e.d.

Also f linear .

f : K → K ist linear.    Sei f(1) = a

==>   Für alle v aus K  f(v) =  f(1*v)

                              =   f(1)*v

                                = a*v .             q.e.d.