Ist (X, +, ·) ein idempotenter Ring mit Einselement 1, so gilt −1 = 1.

Question

Aufgabe:

Ein Ring (X, +, ·) heißt idempotent, wenn x · x = x für alle x ∈ X gilt. Beweisen Sie:
(a) Ist (X, +, ·) ein idempotenter Ring mit Einselement 1, so gilt −1 = 1.
(b) Ist (X, +, ·) ein idempotenter Ring mit Einselement 1, so ist er kommutativ

Problem/Ansatz:

kann jemand mir helfen???

Answer 1

1. Was ist denn das multiplikative Inverse von \(-1\)? Leite erst einmal die elementare Gleichung \((-1)\cdot (-1) = 1\) her, daraus folgt direkt deine erste Aussage \(-1=1\).

2. Wir wollen zeigen, dass \(xy=yx\) für beliebige \(x,y\in R\), das machen wir folgendermaßen:

\((x+y) = (x+y)^2 = x^2 + xy + yx + y^2 = x + xy + yx + y\) wegen Idempotenz. Wir ziehen x und y auf beiden Seiten ab und erhalten \(xy + yx = 0 \iff xy = -yx\), wegen \(-1=1\) gilt \(xy=yx\).