Zeigen Sie, dass (R, +, ·) ein kommutativer Ring mit Einselement ist

Question

Betrachten Sie die Mengen Kj : { k | k = 4m + j, m ∈  ℤ} mit j ∈ ℕ und R= { K₀, K₁, K₂, K₃ }.

Die Verknupfungen + :  R × R → R und · : R × R → R werden definiert durch Ki + Kj = { k | k = 4m + i + j, m ∈ ℤ } und Ki · Kj B { k | k = 4m + ij, m ∈ ℤ } .

Wie  kann man bitte die Axiome nachweisen?

Comments

Wie lauten denn die Axiome?

---

Ich muss zeigen, dass (R,+) eine abelsche Gruppe, (R,·) eine Halbgruppe ist, und dass die Distributivgesetze gelten? Und wenn er kommutativ wegen der Multiplikation ist?

---

Na, dann hast du's doch schon.

Die Kommutativität "erbt" der Ring \( R \) von den Verknüpfungen im Ring \( \mathbb{Z} \), sodass dies zu zeigen einem sehr einfach vorkommt.

Answer 1

also erst mal  (R,+) eine abelsche Gruppe

Da nimmst du einfach die Def. von +  und zeigstdass immer  K i = K _{i mod 4} ist.   Und dann etwa dass es assoziativ ist,

etwa so:

Seien  K_i und K_j  und K_k aus R dann gilt

( K_i  +  K_j  ) +  K_k      wegen Def. von +

=  K _{i+j (mod 4)}  +    K_k     

=   K (  _{i+j (mod 4)  +  k  )}  

=     K  _{(i+j) + k ) (mod 4)}    und wegen Ass. in Z

=   K  _{(i+( j + k ) )(mod 4)}                 

= ....    alles wieder zurück bis

=   K_i  +(  K_j   +  K_k    )    

und mit den anderen entsprechend.