0 Daumen
889 Aufrufe

Aufgabe:

Beweise
a) Seien \( a_{1}, \ldots, a_{n} \) reelle Zahlen und sei \( \bar{a}:=\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} \) ihr Durchschnitt. Zeigen Sie: Es gibt ein \( i \in\{1, \ldots, n\}, \) sodass \( a_{i} \leq \bar{a} \)

Hinweis: indirekter Beweis


Ansatz:

Wir haben folgende Aufgabe in der Oberstufe. Wir sollen die Aussage mit einem indirekten Beweis zeigen. Ich hatte folgende Idee:

a_durchschnitt = 1/n sum(von i=1 bis n) a_i = a_i*n*(1/n) = a_i*1

und dann ist a_i = a_durchschnitt und nicht größer als a_durchschhnitt. Das ist dich aber sicherlich alles andere als richtig oder?

Avatar von

Vom Duplikat:

Titel: Beweis zu den Eigenschaften des Arithmetischen Mittels

Stichworte: arithmetisches,mittel,beweis,ungleichungen

Aufgabe:

Zeigen Sie über einen Widerspurchsbeweis, dass es ein k ∈ {1, ..., n} gibt, für das  xk  ≤ Arithmetisches Mittel von xgilt.


Problem/Ansatz:

Ich habe leider nicht viel Erfahrung mit Widerspruchsbeweisen, konnte mir aber schonmal die ersten Vorgehensschritte selbst herleiten. Um die Aussage per Widerspruch zu beweisen müssen wir ja zunächst folgenmaßen negieren:


Wir gehen also davon aus für alle k ∈ {1, ..., n}  gilt:  xk  >  Arithmetisches Mittel von x.

Das Arithmetisches Mittel von xk ist ja nun folgendermaßen definiert: \( \frac{1}{n} \) \( \sum\limits_{k=1}^{n}{x_k} \)

Nun hätte man ja: xk  > \( \frac{1}{n} \) \( \sum\limits_{k=1}^{n}{x_k} \) 

Leider steh ich nun voll auf den Schlauch und weiß nicht weiter wie ich nun zu einem Widerspruch kommen kann. Würde mich sehr über Hilfe freuen.

Orientiere dich bitte an der Version mit den a_i

2 Antworten

0 Daumen

nimm an, dass alle a_i>a sind ( a ist bei mir der Mittelwert)

Dann ist a=1/n *Summe (i=1 bis n) a_i

< 1/n *Summe (i =1 bis n) a

=1/n *n*a =a

a<a

Das ist ein Widerspruch.

Avatar von 37 k
0 Daumen

Beweis indirekt.

Annahme alle n Summanden sind grösser als aquer.

Da endlich viele Summanden vorkommen, gibt es einen oder mehrere gleich kleinste Werte aklein.

Es gilt nun adurchschnitt < aklein ≤ ai

Somit hat man:

a_durchschnitt = 1/n sum(von i=1 bis n) a_i

≥  1/n * sum(von i=1 bis n) a_klein

= 1/n * n * a_klein

= a_klein > adurchschnitt 

Also a_durchschnitt > a_durchschnitt (der gewünschte Widerspruch) 

Avatar von 162 k 🚀

Hi, ich habe eine ähnliche Aufgabe. (Relationszeichen umgedreht) Doch ich bin leider aus der Antwort noch nicht so schlau geworden.


Meine Aufgabe ist: " Es sein a1,...,an aus den reellen Zahlen. Zeigen sie durch einen Widerspruch das es ein i aus{1,...,n} gibt sodass

ai größer gleich (a1+...+an)/2.

Mein Ansatz war bis jetzt:

Annahme: für jedes i aus {1,...,n} gilt

ai < (a1+...+an). Doch danach hackt es bei mir.

Schonmal vielen Dank für die Hilfe.

VG

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community