Indirekter Beweis zu Eigenschaft von Durchschnitt

Question

Aufgabe:

Beweise
a) Seien \( a_{1}, \ldots, a_{n} \) reelle Zahlen und sei \( \bar{a}:=\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} \) ihr Durchschnitt. Zeigen Sie: Es gibt ein \( i \in\{1, \ldots, n\}, \) sodass \( a_{i} \leq \bar{a} \)

Hinweis: indirekter Beweis

Ansatz:

Wir haben folgende Aufgabe in der Oberstufe. Wir sollen die Aussage mit einem indirekten Beweis zeigen. Ich hatte folgende Idee:

a_durchschnitt = 1/n sum(von i=1 bis n) a_i = a_i*n*(1/n) = a_i*1

und dann ist a_i = a_durchschnitt und nicht größer als a_durchschhnitt. Das ist dich aber sicherlich alles andere als richtig oder?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Beweis zu den Eigenschaften des Arithmetischen Mittels

Stichworte: arithmetisches,mittel,beweis,ungleichungen

Aufgabe:

Zeigen Sie über einen Widerspurchsbeweis, dass es ein k ∈ {1, ..., n} gibt, für das  x_k  ≤ Arithmetisches Mittel von x_k  gilt.

Problem/Ansatz:

Ich habe leider nicht viel Erfahrung mit Widerspruchsbeweisen, konnte mir aber schonmal die ersten Vorgehensschritte selbst herleiten. Um die Aussage per Widerspruch zu beweisen müssen wir ja zunächst folgenmaßen negieren:

Wir gehen also davon aus für alle k ∈ {1, ..., n}  gilt:  x_k  >  Arithmetisches Mittel von x_k .

Das Arithmetisches Mittel von x_k ist ja nun folgendermaßen definiert: \( \frac{1}{n} \) \( \sum\limits_{k=1}^{n}{x_k} \)

Nun hätte man ja: x_k  > \( \frac{1}{n} \) \( \sum\limits_{k=1}^{n}{x_k} \) 

Leider steh ich nun voll auf den Schlauch und weiß nicht weiter wie ich nun zu einem Widerspruch kommen kann. Würde mich sehr über Hilfe freuen.

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Orientiere dich bitte an der Version mit den a_i

Answer 1

nimm an, dass alle a_i>a sind ( a ist bei mir der Mittelwert)

Dann ist a=1/n *Summe (i=1 bis n) a_i

< 1/n *Summe (i =1 bis n) a

=1/n *n*a =a

a<a

Das ist ein Widerspruch.

Answer 2

Beweis indirekt.

Annahme alle n Summanden sind grösser als aquer.

Da endlich viele Summanden vorkommen, gibt es einen oder mehrere gleich kleinste Werte aklein.

Es gilt nun adurchschnitt < aklein ≤ ai

Somit hat man:

a_durchschnitt = 1/n sum(von i=1 bis n) a_i

≥  1/n * sum(von i=1 bis n) a_klein

= 1/n * n * a_klein

= a_klein > adurchschnitt 

Also a_durchschnitt > a_durchschnitt (der gewünschte Widerspruch) 

Comments

Hi, ich habe eine ähnliche Aufgabe. (Relationszeichen umgedreht) Doch ich bin leider aus der Antwort noch nicht so schlau geworden.

Meine Aufgabe ist: " Es sein a1,...,an aus den reellen Zahlen. Zeigen sie durch einen Widerspruch das es ein i aus{1,...,n} gibt sodass

ai größer gleich (a1+...+an)/2.

Mein Ansatz war bis jetzt:

Annahme: für jedes i aus {1,...,n} gilt

ai < (a1+...+an). Doch danach hackt es bei mir.

Schonmal vielen Dank für die Hilfe.

VG