Was bedeutet diese Definition von eij(ak)? (Lineare Abbildung, Matrizen)

Question

Definition:

$$\text{Seien}\quad \{a_{1}, ... , a_{n}\} \subseteq V\quad \text{und} \quad \{b_{1}, ... , b_{n} \} \subseteq W \quad \text{Basen. Für}\quad j = 1, ... , n \quad \text{und} \quad i = 1, ... , m\quad \text{definiere} \quad e_{ij} \in Hom_{K}(V, W)\quad \text{durch} \quad e_{ij}(a_{k}) = 0 \quad \text{für} \quad j \neq k \quad \text{und}\quad e_{ij}(a_{k}) = b_{i} \quad \text{für}\quad j = k. \quad \text{Dann ist}\quad \{e_{11}, ... , e_{mn} \}\quad \text{eine Basis von} \quad Hom_{K}(V, W); \quad\text{insbesondere gilt} \quad dim_{K} Hom_{K}(V, W) = dim_{K} V \cdot dim_{K} W$$

Problem:

Diese Definition steht bei uns im Skript. Im Lehrbuch Lineare Algebra von Bosch taucht diese Definition in dieser Form nicht auf. Ich kann mir die Frage also nicht selber beantworten. Versuche seit mehreren Stunden die Def. zu verstehen.

Kann jemand erklären, was eij(ak) konkret bedeutet. Also wie das zu Stande kommt und ob das ein Vektor, eine Matrix, oder was das eben ist. Und inwiefern man das "braucht" in der Definition. Und wie man davon dann auf die Basis von Hom(V,W) schließt, verstehe ich auch nicht.

Comments

Hallo

eij∈HomK(V,W) sind die Koeffizienten in einer Matrix E, die V auf W abbildet.

Gruß lul

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Mit e dürfte die Einheitsmatrix gemeint sein.

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$$ e_{ij} : V \to W, a_k \mapsto \begin{cases} 0 & k\neq j\\ b_i & k = j \end{cases} $$

was genau verstehst du an dieser Definition nicht? Nimm mal z.B. \( \text{dim } V = 2, \text{dim } W = 2 \), dann sind dass die 4 linearen Abbildungen:

$$ e_{11}(a_1) = b_1,\quad e_{11}(a_2) = 0 \\ e_{12}(a_1) = 0,\quad e_{12}(a_2) = b_1 \\ e_{21}(a_1) = b_2,\quad e_{21}(a_2) = 0 \\ e_{22}(a_1) = 0,\quad e_{22}(a_2) = b_2$$

Du weißt hoffentlich, dass man lineare Abbildung eindeutig durch die angabe der Bilder auf einer Basis definieren kann.

Answer 1

Du musst nur nachrechnen, dass das System linear unabhängig und ein Erzeugendensystem ist:

- Lineare Unabhängigkeit:

Seien \( \lambda_{ij} \in K \) mit \( \sum_{i,j} \lambda_{ij} e_{ij} = 0 \), dann gilt für beliebiges k:

$$ \left( \sum_{i,j} \lambda_{ij} e_{ij} \right) (a_k) = \sum_{i,j}  \lambda_{ij} \underbrace{e_{ij}(a_k)}_{=~0 ~\Leftrightarrow~ j\neq k} = \sum_{i}  \lambda_{ik} e_{ik}(a_k) =  \sum_{i}  \lambda_{ik} b_i = 0 $$

Da \( (b_i) \) linear unabhängig folgt \( \forall i: \lambda_{ik} = 0 \), da k beliebig: \( \forall i,j : \lambda_{ij} = 0 \).

- Erzeugendensystem:

Sei \( f \in \text{Hom}_K(V,W) \) mit \( f(a_k) = w_k \), da \( (b_i) \)  Basis von \( W \) existieren \( \lambda_{ik} \in K \) mit

$$ \sum_{i} \lambda_{ik} b_i = w_k $$

Behauptung: \( f = \sum_{i,j} \lambda_{ij} e_{ij} \)

$$ \left( \sum_{i,j} \lambda_{ij} e_{ij} \right) (a_k) = \sum_{i,j}  \lambda_{ij} e_{ij}(a_k) = \sum_{i}  \lambda_{ik} e_{ik}(a_k) =  \sum_{i}  \lambda_{ik} b_i = w_k = f(a_k) $$

Damit stimmen die linearen Abbildungen auf einer Basis überein und sind folglich identisch.

Insb. gilt \( \text{dim}_K\text{Hom}_K(V,W) = \text{dim}_KV \cdot \text{dim}_KW \)