Lineare Abbildung durch Bilder gegeben, Basiswechselmatrix

Question

ich bin gerade an vergangenen Hausaufgaben durchrechnen zur Übung für die bevorstehende Prüfung. Leider aber übel kann ich mit der Aufgabe gar nichts anfangen. Hab seit mehreren Stunden rumprobiert aber erfolglos. Mir fehlt einfach der richtige Ansatz. Die Einträge für die Vektoren musste ich leider hinter einander schreiben, da ich nicht genau weiß wie es hier vernünftig einzusetzen ist. Hoffe es stört nicht uns es ist alles verständlich. Ich bedanke mich schonmal im voraus!

Hier die folgende Aufgabe:

Es sei B1 = {~e1, ~e2, ~e3} die Standardbasis des R3 und B2 = {~v1, ~v2, ~v3} die Basis mit

Vektoren: v=x,y,z

v1=2,0,-2      ;v2=4,2,-2         ;v3=-2,1,4

Weiter sei die lineare Abbildung f : R3 → R3 durch die folgenden Bilder gegeben

f(1,0,0)=2,0,-2     ;f(0,1,0)=-4,-2,2      ;f(0,0,1)=-2,1,4

a) Berechnen Sie fB1,B1.
b) Berechnen Sie die Basiswechselmatrix TB2,B1 = idB2,B1 von B2 nach B1.
c) Berechnen Sie die Basiswechselmatrix TB1,B2 = idB1,B2 von B1 nach B2.
d) Berechnen Sie fB2,B2 mit fB1,B1 und den Basiswechselmatrizen.

Answer 1

a)   Wenn die Bilder der kanonischen Basisvektoren gegeben sind,

musst du nur diese als Spalten in die Matrix schreiben und hast f_B1,B1 =

2       -4        -2
0       -2         1
-2     2           4

und für b) schreibst du die Vektoren v1,v2,v3 in eine Matrix:

2   4   -2
0   2    1 
-2  -2    4

und c) ist davon die Inverse

2,5      -3      2
-0,5      1      -0,5
1          -1       1

Und für d) berechnest du das Produkt der Ergebnisse von c a b

(ind dieser reihenfolge ) und bekommst   f_B2,B2 =

2   4   -2
0   -2    -1
-2   -2    4

zur Probe kann man ja mal einen direkt mit der ersten Matrix also f_B1,B1 abbilden,

etwa f(v1) = ( 8 ; -2 ; 12 )

und zur Kontrolle: In der ersten Spalte von f_B2,B2 müssten die Zahlen stehen, mit

denen man f(v1) durch die B2 darstellen kann, also 2*v1 + 0*v2 -2*v3

und ich denke : Das passt!    Kannst es ja vorsichtshalber mit v2 und v3

auch mal versuchen.