Question

Eine Urne enthält 4 grüne und 5 rote Kugeln. Zwei Kugeln werden
nacheinander mit Zurücklegen gezogen. Es werden drei Ereignisse definiert:

A: Rot wird im 1. Zug gezogen.
B: Rot wird im ersten und grün im zweiten Zug gezogen.
C: Grün im zweiten Zug unter der Bedingung, dass rot bereits im ersten Zug gezogen wurde.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten A, B und C.

Answer 1

Eine Urne enthält 4 grüne und 5 rote Kugeln. Zwei Kugeln werden nacheinander mit Zurücklegen gezogen. Es werden drei Ereignisse definiert. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten A, B und C.

A: Rot wird im 1. Zug gezogen.

P(A) = 5/9

B: Rot wird im ersten und grün im zweiten Zug gezogen.

P(B) = 5/9 * 4/9 = 20/81

C: Grün im zweiten Zug unter der Bedingung, dass rot bereits im ersten Zug gezogen wurde.

Der zweite Zug ist vom ersten Zug unabhängig.

P(C) = 4/9

Answer 2

 

hier ist ein Baumdiagramm hilfreich:

 

 

Jetzt kann man unmittelbar ablesen:

A. Grün wird im ersten Zug gezogen

Wahrscheinlichkeit dafür: 4/9

B. Grün wird im ersten und zweiten Zug gezogen

Wahrscheinlichkeit dafür: 12/72 = 6/36 = 1/6

C: Grün im zweiten Zug unter der Bedingung, dass grün bereits im ersten Zug gezogen
wurde

Wahrscheinlichkeit dafür: 3/8

 

Besten Gruß

Comments

Warum ist B und C ungleich von der Wahrscheinlichkeit? Sollte C nicht auch 4/9 * 3/8 sein? Ist doch eigentlich die gleiche Frage nur umformuliert oder sehe ich das falsch?

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Hi,

 

nein, das ist nicht die gleiche Frage nur umformuliert!

 

Bei B überlegt man sich vor dem 1. Ziehen, wie groß die W. ist, dass zweimal grün gezogen wird.

 

Bei C überlegt man sich nach dem 1. Ziehen ("unter der Bedingung, dass grün bereits im ersten Zug gezogen wurde"), wie groß die W. ist, dass jetzt nochmals grün gezogen wird.

Grün im ersten Zug ist also schon eingetreten und hat damit die Wahrscheinlichkeit 1. Deshalb W =

1 * 3/8 = 3/8

 

Nachvollziehbar?

 

Besten Gruß

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Ja! Verstanden. Herzlichen Dank.

Nur als kurze Rückfrage: Deine Antworten wären aber nur richtig, wenn in der Fragestellung das ganze OHNE ZURÜCKLEGEN DER KUGELN stehen würde, richtig?

Mit Zurücklegen wäre die Wahrscheinlichkeiten dann so:

A) 5/9

B) 5/9 * 4/9

C) 1 * 4/9

?

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Gerne :-)

 

Ja, die von mir angegebenen Wahrscheinlichkeiten betreffen Ziehen ohne Zurücklegen der Kugeln (deshalb verändern sich die einzelnen Wahrscheinlichkeiten nach den ersten Knoten auch).

 

Mit Zurücklegen (4 grüne, 5 rote Kugeln):

A) Grün im ersten Zug: P = 4/9

B) Grün im ersten und zweiten Zug: P = 4/9 * 4/9 = 16/81

C) Grün im zweiten Zug unter der Bedingung, dass grün bereits im ersten Zug gezogen
wurde (diese Bedingung spielt dann keine Rolle, weil die Kugel ja zurückgelegt wird, also): P = 4/9