Eigentliches/Uneigentliches Integral bestimmen

Question

Aufgabe:

Hi,

ich lerne gerade für meine Analysisklausur und komme bei dem Thema Eigentliches/Uneigentliches Integral nicht mehr weiter.

Integral zwischen 0 und pi x*sin(x) dx

Problem/Ansatz:

mit dem Aufleiten mit partieller Integration habe ich kein Probleme.

lim a->0 Integral zwischen a und pi :  -pi * cos(pi) + sin(pi) - (-a * cos(a) + sin(a) )

am Ende muss glaube ich pi rauskommen aber ich komme nicht darauf.

Bitte euch um Hilfe

LG

Answer 1

Mit Partieller Integration:

$$\int_{}^{}x\sin(x)\text{ dx}=-\cos(x)\cdot x-\int_{}^{}-\cos (x)\text{ dx}=-\cos(x)\cdot x+\sin(x)+C$$

Und dann in den Grenzen von \(0\) bis \(\pi\). Ich erhalte \(\pi\) als Wert:$$F(\pi)-F(0)=\underbrace{(-\cos(\pi)\cdot \pi+\sin(\pi))}_{=\pi}-\underbrace{(-\cos(0)\cdot 0+\sin(0))}_{=0}=\pi$$

Answer 2

f(x) = x·SIN(x)

F(x) = SIN(x) - x·COS(x)

Warum bildest du den Grenzwert a → 0 ? Darfst du Null nicht einsetzen?

∫ (0 bis pi) f(x) dx = F(pi) - F(0) = (SIN(pi) - pi·COS(pi)) - (SIN(0) - 0·COS(0)) = (0 - pi·(-1)) - (0 - 0·1) = pi