Wir betrachten das chemische Reaktionsnetzwerk der Wassergas-Shift-Reaktion:
\( \begin{aligned} H_{2} O+C O & \rightleftarrows C O_{2}+H_{2} \\ H_{2} O+H & \rightleftarrows H_{2}+O H \qquad (WG) \\ O H+C O & \rightleftarrows C O_{2}+H \end{aligned} \)
Um dieses Reaktionsnetzwerk systematisch zu beschreiben, bezeichnen wir die Spezies, die an einer Reaktion teilnehmen mit S1= H2O, S2= CO, S3= CO2, S4= H2, S5= H und S6= OH. Mit der Konvention, dass Edukte ein negatives Vorzeichen und Produkte ein positives Vorzeichen erhalten, können wir das Reaktionsnetzwerk in folgendes Stöchiometrie Gleichungssystem umformulieren:
\( -S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}=0 \)
\( -S_{1}-S_{5}+S_{4}+S_{6}=0 \qquad (S) \)
\( -S_{6}-S_{2}+S_{3}+S_{5}=0 \)
(a) Bestimme den Rang der Matrixdarstellung von (S). Was besagt dies über die lineare Unabhängigkeit der Reaktionen des Netzwerks (WG)?
(b) Bestimme alle Möglichkeiten eine der Reaktionen des Reaktionsnetzwerks (WG) als Linearkombination der anderen darzustellen.
Die zum Gleichungssystem (S) gehörige Atomare Matrix A gibt die Zusammensetzung der Spezies Sj, 1≤j≤6, aus den Atomen A1= H, A2= O, A3= C an.
\( \left[\begin{array}{l}{A_{1}} \\ {A_{2}} \\ {A_{3}}\end{array}\right]=A\left[\begin{array}{l}{S_{1}} \\ {S_{2}} \\ {S_{3}} \\ {S_{4}} \\ {S_{5}} \\ {S_{6}}\end{array}\right], \quad A=\left[\begin{array}{llllll}{2} & {0} & {0} & {2} & {1} & {1} \\ {1} & {1} & {2} & {0} & {0} & {1} \\ {0} & {1} & {1} & {0} & {0} & {0}\end{array}\right] \)
c) Berechne die Lösungsmenge des homogenen Systems von A. Schliesse daraus auf alle möglichen Reaktionen mit den Reaktionspartnern H2O, CO, CO2, H2, H und OH.
d) Bezeichne mit S die Matrixdarstellung des Gleichungssystems (S). Zeige, dass AST = 0 ist und begründe, warum dieser Zusammenhang für jedes Reaktionsnetzwerk gelten muss.
Als Chemiestudent verstehe ich den chemischen Hintergrund dieser Aufgabe, jedoch nicht wie ich sie mathematisch lösen soll. Ich wäre sehr dankbar wenn mir jemand helfen könnte.
