Seien X und Y nichtleere beschränkte Teilmengen von ℝ mit X ⊂ Y. Beweisen supX ≤ supY und inf Y ≤ inf X.

Question

kann mir jemand helfen.mich bringt die ganze Aufgabe total Durcheinander

Seien X und Y nichtleere beschränkte Teilmengen von R mit X ⊂ Y

(i) Zeigen Sie supX ≤ supY und inf Y ≤ inf X.

(ii) Existieren zwei Mengen X und Y mit X ≠ Y und supX = supY sowie inf Y = inf X?

Comments

Y enthält ja alle Elemente von X.

Das kleinste Element von X ist, kann deshalb nicht kleiner als das kleinste Element von Y zu sein, da dieses Element ja automatisch auch in Y liegt.

Ebenso: Das grösste Element von X kann nicht grösser als das grösste Element von Y sein, da dieses Element ja automatisch auch in Y liegt.

Jetzt musst du das noch auf die formale Definition für inf und sup ummünzen.

Answer 1

(ii)

X = {1,3}, Y = {1,2,3}

inf (X) = inf (Y) =1

sup(X) = sup(Y) = 3.