Aufgabe:
a) Sei A = [0, 1) ⊂ R. Beweisen Sie detailliert mit Definition 3.33, dass sup A = 1 und inf A = 0.
b) Sei (xn)n∈N eine gegen x ∈ R konvergente monoton wachsende Folge. Beweisen Sie detailliert mit
Definition 3.33, dass sup{xn : n ∈ N} = x.
Problem/Ansatz:
laut der Def 3.33:
Sei A ⊂ R. Dann heißt
a) ein M ∈ R obere Schranke für A, falls x ≤ M fur alle ¨ x ∈ A.
b) ein m ∈ R untere Schranke für A, falls x ≥ m fur alle ¨ x ∈ A.
c) ein M¯ ∈ R Supremum oder kleinste obere Schranke für A, falls M¯ eine obere
Schranke von A ist und jedes M < M¯ keine obere Schranke fur¨ A ist.
d) ein m¯ ∈ R Infimum oder großte untere Schranke für ¨ A, falls m¯ eine untere Schranke
von A ist und jedes m > m¯ keine untere Schranke fur¨ A ist.
darf ich diesen Beweis Schreiben?
Teil a)nach der Def 3.33
Inf A= 0 und Sup A= 1
Inf A= 0, d.h.
i) für jedes x∈A : x≥0 ( A ist nach unten durch 0 beschränkt)
ii) für jedes m >0 : m ist keine untere Schranke von A
somit gilt 0 ist die größte untere Schranke für A, dann gilt Inf A=0
Sup A=1, d.h.
i) für jedes x∈A : x≤1( A ist nach oben durch 1 beschränkt)
ii) für jedes M<1: M ist keine untere Schranke von A
somit gilt 1 ist die kleinste untere Schranke für A, dann gilt SupA=1
Teil b)
Sei (xn)n∈N eine gegen x∈R konvergente monoton wachsende Folge.
und nach der Def Definition des Supremums:
sup {xn :n∈N} ist die kleinste reale Zahl y, für die gilt xn ≤ y für alle n∈ N.
Da (xn) monoton wachsend ist und gegen x konvergiert, ist x eine obere Schranke für {xn:n∈N}.
Um zu zeigen, dass x die kleinste obere Schranke ist, nehmen wir an, es gäbe eine kleinere obere Schranke y<x.
Da y eine obere Schranke ist, müsste xn ≤y für alle n∈ N.
Aber das widerspricht der Tatsache, dass (xn)gegen x konvergiert, und für jedes ϵ>0 gibt es ein N
so, dass ∣xn −x∣<ϵ für alle n>N. Daher ist sup {xn:n∈N}=x.
