Berechnen Sie das Volumen der Menge {(x,y,z)∈R^3: y^2+z^2≤2, y^2+z^2≤x≤3}

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das Volumen der Menge {(x,y,z)∈R^3: y^2+z^2≤2, y^2+z^2≤x≤3}

Problem/Ansatz:

Ich komme bei dieser Aufgabe leider nicht weiter und wäre für jede Hilfe dankbar! Ich hätte einen Ansatz wie ich das rechnen könnte bin mir aber unsicher ob dieser richtig wäre.. Wäre toll wenn das jemand eventuell nachrechnen könnte mit einem Ergbnis.

Ansatz

∫−r bis r ∫−\( \sqrt{2−z^2} \)bis \( \sqrt{2−z^2} \) ∫z^2+y^2 bis 3xdxdydz und r wäre dann \( \sqrt{2} \) also es weist auf eine Kreisfläche mit diesem Radius

Comments

Kann es sein, dass das Ergebnis 5pi ist ?

Ach nee, hab gerade die andere (richtige) Lösung gesehen.

---

anbei die Menge in Desmos3D:

https://www.desmos.com/3d/0005db3834

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir sollen das Volumen der Menge \(M\)bestimmen:$$M=\{(x;y;z)\in\mathbb R^3\,\big|\,y^2+z^2\le2\;;\;y^2+z^2\le x\le3\}$$

Dazu wählen wir einen Ortsvektor \(\vec r\), der alle Punkte der Menge \(M\) abtastet:$$\vec r=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\r\cos\varphi\\r\sin\varphi\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;\sqrt2]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]\quad;\quad x\in[r^2;3]$$Die kartesischen Koordinaten \((y;z)\) wurden durch Polarkoordianten \((r;\varphi)\) ersetzt, sodass wir auch das Flächenelement entsprechend transformieren müssen:$$dy\,dz=\left|\begin{array}{c}\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial\varphi}\\[1ex]\frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \varphi}\end{array}\right|\,dr\,d\varphi=\left|\begin{array}{c}\cos\varphi & -r\sin\varphi\\[1ex]\sin\varphi & r\cos\varphi\end{array}\right|\,dr\,d\varphi=r\,dr\,d\varphi$$

Damit können wir das Integral für das Volumen wie folgt formulieren:$$V=\int\limits_M dx\,dy\,dz=\int\limits_{r=0}^{\sqrt2}\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{x=r^2}^3\,dx\,r\,dr\,d\varphi=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{r=0}^{\sqrt2}\left(r\cdot\int\limits_{x=r^2}^3dx\right)dr$$$$\phantom V=2\pi\int\limits_{r=0}^{\sqrt2}r\cdot(3-r^2)\,dr=2\pi\left[\frac32r^2-\frac14r^4\right]_0^{\sqrt2}=2\pi\cdot\left(3-1\right)=4\pi$$

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Antwort. Hast mir mega geholfen! :)

---

Gerne ;)

Oft hilft es, wenn man mal ein durchgerechnetes Beispiel sieht und versteht.

War bei mir damals auch so ;)

---

Ja das stimmt, ich bin lange an diesem Bsp gesessen und nach deiner Lösung war es dann sehrr verständlich! :)

Answer 2

Hier bieten sich Zylinderkoordinaten an, mit

\(y= r\cos t,\, z = r\sin t\) mit \(r\in [0,\sqrt 2]\) und \(t\in [0,2\pi]\)

sowie

\(r^2 \leq x\leq 3\)

Damit ergibt ich das Volumen zu

\(\int_{t=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{\sqrt 2} \int_{x=r^2}^3r\,dx\,dr\,dt= \ldots \)

\(\ldots = 2\pi \int_{r=0}^{\sqrt 2} (3r-r^3)\,dr = 4\pi\)

Hier noch eine Berechnung mit Mathematica und ein Bild:

Comments

Das Volumen ergibt sich durch Rotation der Fläche um die x-Achse :

\( V= \pi*( \int\limits_{0}^{2}(\sqrt x ^2dx+\int\limits_{2}^{3}\sqrt 2^2 dx)=4\pi\)

---

Vielen Dank!! :))

---

@ Gast hj2166
Stimmt! Das ist auch ein cleverer Weg.