Wie zeige ich, dass supX ≤ supY und inf Y ≤ inf X

Question

Aufgabe:

kann mir jemand helfen? Mich bringt die ganze Aufgabe total durcheinander

Seien X und Y nichtleere beschränkte Teilmengen von R mit X ⊂ Y

(i) Zeigen Sie supX ≤ supY und inf Y ≤ inf X.

(ii) Existieren zwei Mengen X und Y mit X ≠ Y und supX = supY sowie inf Y = inf X?

Problem/Ansatz:

Also mir ist schon klar dass supx in Y ist und supy nicht zwingend in X, aber wie kann ich es formell "übersetzen"?

Answer 1

(i) Für das Supremum \(\sup X\) von \(X\) nach Definition zum einen \(x\leq \sup X\) für alle \(x\in X\) (d.h. \(\sup X\) ist obere Schranke von \(X\)), zum anderen \(\sup X\leq t\) für alle oberen Schranken \(t\) von \(X\).

Für das Supremum \(\sup Y\) von \(Y\) nach Definition zum einen \(y\leq \sup Y\) für alle \(y\in Y\), zum anderen \(\sup Y\leq t\) für alle oberen Schranken \(t\) von \(Y\).

Da \(X\subset Y\), folgt schnell \(x\leq \sup Y\) für alle \(x\in X\). Also ist \(\sup Y\) eine obere Schranke für \(X\).

Da \(\sup X\leq t\) für alle oberen Schranken \(t\) von \(X\) folgt sofort \(\sup X\leq \sup Y\).

Analog wird die Aussage für das Infimum bewiesen (dort geht es nun um untere Schranken).

(ii) Ja, z.B. \(X=\{0,2\}\) und \(Y=\{0,1,2\}\), denn \(\sup X = 2 = \sup Y\) und \(\inf X = 0 = \inf Y\).