Aloha :)
Für \(x=1\), lautet die Ungleichung \(2\le0\), was offensichtlich falsch ist. Daher können wir im Folgenden \(x\ne1\) voraussetzen. Daher ist \(|x-1|>0\) und wir können die Ungleichung dadurch dividieren, ohne dass sich das Relationszeichen umkehrt:
$$\left.|x+1|\le|x-1|\quad\right|\colon|x-1|$$$$\left.\frac{|x+1|}{|x-1|}\le1\quad\right|\text{Den Zähler umschreiben}$$$$\left.\left|\frac{x-1+2}{x-1}\right|\le1\quad\right|\text{und den Bruch aufteilen}$$$$\left.\left|1+\frac{2}{x-1}\right|\le1\quad\right|\text{Die Betragsungleichung in zwei Ungleichungen umwandeln}$$$$\left.-1\le1+\frac{2}{x-1}\le1\quad\right|-1$$$$\left.-2\le\frac{2}{x-1}\le0\quad\right|\colon(-2)$$$$\left.1\ge\frac{1}{1-x}\ge0\quad\right.$$Die rechte Ungleichung erzwingt, dass \(1-x>0\) bzw. \(x<1\) gelten muss. Die linke Ungleichung erzwingt dann, dass \(1-x\ge1\) bzw. \(x\le0\) sein muss.
Die Ungleichung gilt daher für alle \(x\le0\).