Wie löse ich die Ungleichung?

Question

Ich verstehe im Moment gar nichts, bitte hilf mir jemand T-T
| x+1 | kleiner-gleich | x-1 |       | - | x-1 |

| x+1 | - | x-1 |  kleiner-gleich 0  

Fälle:

x +1 kleiner-gleich 0

x +1 > 0

x -1 kleiner-gleich 0

x -1 > 0

weiter komme ich leider nicht.

Ich hab es auch wirklich versucht und ich weiß das das irgendwas mit Fallunterscheidung zu tun hat, aber ich verstehe es nicht

Answer 1

Aloha :)

Für \(x=1\), lautet die Ungleichung \(2\le0\), was offensichtlich falsch ist. Daher können wir im Folgenden \(x\ne1\) voraussetzen. Daher ist \(|x-1|>0\) und wir können die Ungleichung dadurch dividieren, ohne dass sich das Relationszeichen umkehrt:

$$\left.|x+1|\le|x-1|\quad\right|\colon|x-1|$$$$\left.\frac{|x+1|}{|x-1|}\le1\quad\right|\text{Den Zähler umschreiben}$$$$\left.\left|\frac{x-1+2}{x-1}\right|\le1\quad\right|\text{und den Bruch aufteilen}$$$$\left.\left|1+\frac{2}{x-1}\right|\le1\quad\right|\text{Die Betragsungleichung in zwei Ungleichungen umwandeln}$$$$\left.-1\le1+\frac{2}{x-1}\le1\quad\right|-1$$$$\left.-2\le\frac{2}{x-1}\le0\quad\right|\colon(-2)$$$$\left.1\ge\frac{1}{1-x}\ge0\quad\right.$$Die rechte Ungleichung erzwingt, dass \(1-x>0\) bzw. \(x<1\) gelten muss. Die linke Ungleichung erzwingt dann, dass \(1-x\ge1\) bzw. \(x\le0\) sein muss.

Die Ungleichung gilt daher für alle \(x\le0\).

Answer 2

| x+1 | ≤ | x-1 | |^2

(x+1)^2≤(x-1)^2

x^2+2x+1≤x^2-2x+1

4x≤0

x≤0

Proben: x=0     | 0+1 | ≤ |0-1 |    → 1≤1   stimmt

            x=-4     | -4+1 | ≤ |-4-1 |  → | -3 | ≤ |-5 |  →3 ≤ 5  stimmt

Answer 3

| x+1 | ≤ | x-1 |
auf beiden Seiten der Ungleichung steht
positives. Deshalb darf quadriert werden
ohne das sich das Relationszeichen ändert.

(x+1) ^2 ≤ ( x-1 )^2
x^2 + 2x + 1 ≤ x^2 - 2x + 1
2x ≤ -2x
x ≤ -x
2x ≤ 0
x ≤ 0

Answer 4

\(|x+1|=|x-(-1)|\leq |x-1|\) besagt:

der Abstand von \(x\) zu \(-1\) ist \(\leq\) Abstand von \(x\) zu \(1\).

Da \(0\) genau in der Mitte zwischen \(-1\) und \(1\) liegt, bedeutet das \(x\leq 0\).