Lösung eines Linearen Gleichungssystems

Question

ich bereite mich gerade für die Matheklausur vor und komme bei folgender Aufgabe nicht auf die Lösung.

Sei \(b \in \mathbb{R}^n\). Begründe, dass \(x= \frac{1}{1+b^Tb}b \) die eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems \((I_n+bb^T)x=b\) ist.

Answer 1

\(❶\ (I_n+bb^\top)b=b+(bb^\top)b=b+(b^\top b)b=(1+b^\top b)b\).

\(❷\ v^\top(I_n+bb^\top)v=v^\top v+v^\top (bb^\top)v=v^\top v+(v^\top b)^2\ge0\).

Comments

Vielen Dank für die Antwort.

Aber warum ist dann nun \(x=\frac{b}{1+b^Tb} \) die einzige Lösung? Das ist mir noch nicht ganz klar.