Multiplikation von komplexen Zahlen mit Wurzel

Question

Aufgabe:

Im Unterricht haben wir folgende komplexe Zahlen ( siehe c) multipliziert. Nun weiß ich aber nicht wie wir auf das Ergebnis gekommen sind, insbesondere die -5/8 i. Des Weiteren wollte ich wissen, was passiert wenn ich zwei Wurzeln multipliziere. Laut Lösung fällt die Wurzel bei der 3 weg und wird in den Zähler übertragen.

Answer 1

Aloha :)

Zuerst ausmultiplizieren: \((a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd\):

$$\left(\underbrace{\frac{1}{2}\sqrt3}_{a}\underbrace{-\frac{i}{2}}_{b}\right)\left(\underbrace{-\frac{1}{4}}_{c}\underbrace{-\sqrt3\cdot\frac{i}{4}}_{d}\right)$$$$=\underbrace{\frac{1}{2}\sqrt3}_{a}\cdot\underbrace{\left(-\frac{1}{4}\right)}_{c}+\underbrace{\left(-\frac{i}{2}\right)}_{b}\cdot\underbrace{\left(-\frac{1}{4}\right)}_{c}+\underbrace{\frac{1}{2}\sqrt3}_{a}\cdot\underbrace{\left(-\frac{\sqrt3i}{4}\right)}_{d}+\underbrace{\left(-\frac{i}{2}\right)}_{b}\cdot\underbrace{\left(-\frac{\sqrt3i}{4}\right)}_{d}$$Dann die Faktoren zusammenfassen:$$=-\frac{\sqrt3}{8}+\frac{i}{8}-\frac{\overbrace{(\sqrt3)^2}^{=3}\cdot i}{8}+\frac{\sqrt3\cdot\overbrace{i^2}^{=-1}}{8}=-\frac{\sqrt3}{8}+\frac{i}{8}-\frac{3i}{8}-\frac{\sqrt3}{8}$$Jetzt kannst du noch Real- und Imaginärteil zusammenfassen:

$$=-2\cdot\frac{\sqrt 3}{8}+\frac{i-3i}{8}=-\frac{\sqrt3}{4}-\frac{i}{4}=-\frac{1}{4}\left(\sqrt3+i\right)$$Offenbar hat deine Lehrkraft falsch gerechnet.

Answer 2

(\( \frac{√3}{2} \) - \( \frac{i}{2} \))·(-\( \frac{1}{4} \) - \( \frac{√3·i}{4} \) ) =

- \( \frac{√3}{8} \) + \( \frac{i}{8} \) - \( \frac{3i}{8} \) - \( \frac{√3}{8} \) =  - \( \frac{√3}{4} \)  - \( \frac{i}{4} \)

Comments

Kleiner Vorzeichenfehler:
\(\displaystyle -\frac i2\cdot(-\frac{\sqrt3i}4)=\frac{\sqrt3i^2}{8}=-\frac{\sqrt3}8\)

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Danke für den Hinweis. Hab's korrigiert.