Bsp. sin(alpha) = 1/2 √(2). Wie berechnet man die anderen drei Funktionswerte ohne Taschenrechner und Tafelwerk?

Question

 Aufgabe: Hier sind 3 Funktionswerte gegeben, wobei die anderen drei Funktionswerte zu den jeweiligen Punkten berechnet werden soll ohne Taschenrechner. Wie gehe ich vor? In Klammern steht die Bedingung für α

Answer 1

Zeichne für a) ein Quadrat mit der Diagonalenlänge 1 und für c) ein gleichseitges Dreieck mit der Seitenlänge 2:

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@Roland: Es war nicht nach Stellen gefragt. ME haben wir die Frage beantwortet. Habe deine Veränderung der Fragestellung rückgängig gemacht.

Answer 2

Zeichne für a) ein Quadrat mit der Diagonalenlänge 1 und für c) ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge 2:

Answer 3

Wie gehe ich vor? In Klammern steht die Bedingung für α.

1. Schritt: Benutze den Pythagoras: So kommst du auf einen Funktionswert je Winkelfunktion.

2. Schritt: Benutze den Einheitskreis: So kommst du über die Symmetrie (fast) überall noch auf einen weiteren Wert.

(0<a<2π)

Kleiner nicht grösser. Das war bestimmt ein Druckfehler.

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Das waren leider die einzigen Informationen die wir erhalten haben. Aber ich denke es sollen jeweils cos,sin,tan oder cotan berechnet werden.

Wie gesagt, brauchst du dazu die Winkel nicht zu kennen. Mache, was ich geschrieben habe.

Bsp. sin(alpha) = √2 / 2

cos^2(alpha) + sin^2(alpha) = 1     | Einsetzen:

cos^2(alpha) + (√(2)/2)^2  = 1

cos^2(alpha) + 2/4  = 1

cos^2(alpha) + 1/2  = 1

cos^2(alpha)   = 1/2 = 2/4

cos(alpha) = ± √(2) / 2.

tan(alpha) = sin(alpha)/cos(alpha) = (√(2)/2) / (± (√2/2)) = ± 1

cot(alpha) = 1/tan(alpha) = 1/(±1) = ± 1.

Nun am Einheitskreis schauen, ob all das passen kann.

Answer 4

Aufgabe: Hier sind 3 Funktionswerte gegeben, wobei die anderen drei Funktionswerte zu den jeweiligen Punkten berechnet werden soll ohne Taschenrechner. Wie gehe ich vor? In Klammern steht die Bedingung für α

Könntest du mal die Aufgabenstellung im Original zur Verfügung stellen?

Wir mussten damals die wichtigsten Sinus- und Kosinuswerte auswendig wissen.

Comments

Diese Tabelle finde ich hilfreicher:

Die Werte können übrigens leicht über den trig. Pythagoras und die Additionstheoreme hergeleitet werden.

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Diese Tabelle finde ich hilfreicher:

Interessant. Was ist an der Tabelle so anders? Nur das Der Tangens dort nicht steht weil man ja auch Sinus durch Cosinus rechnen kann? Oder weil nur das Bogenmaß und nicht mehr das Gradmaß aufgeführt ist?

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Wenn man weiß, dass \(2\pi\) im Gradmaß \(360°\) entsprechen, muss man nicht doppelt lernen. Selbiges gilt für den Tangens. Man muss nur wissen, dass \(\tan(x)=\sin(x)/\cos(x)\)

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Dann könnte man auch den cos x weglassen, weil das einfach ja sin(pi/2 - x) ist.

man braucht sich also insgesamt nur die Winkel im Grad oder Bogenmaß merken und den Sinus. Dann kann man komplett die Tabelle damit aufstellen.

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Aufgabe im Original:

Berechnen Sie jeweils die drei anderen Funktionswerte ohne Verwendung der Tafel oder des Taschenrechners, wenn gegeben ist (0>a>2π):

Und dann  sind halt (a) und (b) und (c) gegeben.

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Berechnen Sie jeweils die drei anderen Funktionswerte ohne Verwendung der Tafel oder des Taschenrechners, wenn gegeben ist (0>a>2π):

Funktionswerte sind immer y-Koordinaten

Wenn ich kenne

sin(α) = √2/2 halbe kenne ich hier ein Funktionswert. Nun könnte ich die Funktionswerte cos(α) und tan(α) bestimmen. Ich mache das mal

sin(α) = √2/2 --> α = 45° oder α = 180° - 45° = 135°

cos(45°) = √2/2

cos(135°) = -√2/2

tan(45°) = 1

tan(135°) = -1

Das wären jetzt aber 4 andere. So wirklich exakt steht dort nicht welche anderen Funktionswerte gemeint sind ...

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Mit "den anderen drei Funktionswerten" kann z.B. gemeint sein:

Berechne aus cos α auch sin α, tan α und cot α.

Vielleicht ist aber auch gemeint: Berechne aus cos α auch cos (π-α), cos (π+α) und 
cos (2π-α).

Es fehlen Informationen.

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Es fehlen Informationen.

Da sind wir uns einig.

Vielleicht stellt der Fragesteller nochmals die Original Fragestellung im kompletten Kontext als Foto ein.

Wenn das oben (https://www.mathelounge.de/651396/berechnet-anderen-funktionswerte-taschenrechner-tafelwerk?show=651446#c651446) bereits der komplette Kontext ist, dann sollte die Lehrkraft dazu befragt werden. Ich glaube dann aber nicht das dies eine Aufgabe aus einem Buch ist. In Büchern macht man sich meist mehr Gedanken bei der Fragestellung.

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Das waren leider die einzigen Informationen die wir erhalten haben. Aber ich denke es sollen jeweils cos,sin,tan oder cotan berechnet werden.

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Man kann jeden anderen Funktionswert durch den gegebenen ausrechnen.

Es gelten folgende Zusammenhänge:

https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Gegenseitige_Darstellung

Wobei man wenn man den Winkel ausrechnen, bzw. wissen kann man auch über den Winkel gehen kann, wie ich es oben gemacht habe.