Eigenwerte eines dyadischen Produkts

Question

ich bereite mich gerade auf meine Klausur vor und habe bei folgender Aufgabe ein Problem.

Aufgabe:

Bestimme zu der Matrix $A=xx^*-2I_n$ alle möglichen Eigenwerte, wobei $x \in \mathbb{C}^n$

Problem/Ansatz:

Zur Matrix $xx^*$ gibt es natürlich nur einen Eigenwert, nämlich $\lambda=x^*x \in \mathbb{C}$.

Wie füge ich dies aber nun auf die Matrix A zurück?

Answer 1

Wenn $\lambda$ ein EW von $xx^*$ ist, dann ist $\lambda-2$ ein EW von $xx^*-2I_n$. Warum sollte $\lambda=x^*x$ der einzige EW sein?

Comments

Auch wenn die Frage etwas doof klingt, aber kannst du mir erklären, warum $\lambda-2$ ein EW ist? Stehe etwas auf dem Schlauch.

$\lambda=x^*x$ ist nicht der einzige EW. Es gibt noch $n-1$ weitere, jedoch sind diese wegen des Ranges von $rank(xx^*)≤1$ alle null. $\lambda=x^*x=0$, falls $x=0_v$

---

Wenn $v$ ein EV von $xx^*$ zum EW $\lambda$ ist, dann gilt
$(xx^*-2I_n)v=xx^*v-2I_nv=\lambda v-2v=(\lambda-2)v$.
Also ist $v$ ein EV von $xx^*-2I_n$ zum EW $\lambda-2$.