Eigenwerte eines dyadischen Produkts

Question

ich bereite mich gerade auf meine Klausur vor und habe bei folgender Aufgabe ein Problem.

Aufgabe:

Bestimme zu der Matrix \(A=xx^*-2I_n\) alle möglichen Eigenwerte, wobei \(x \in \mathbb{C}^n\)

Problem/Ansatz:

Zur Matrix \(xx^*\) gibt es natürlich nur einen Eigenwert, nämlich \(\lambda=x^*x \in \mathbb{C}\).

Wie füge ich dies aber nun auf die Matrix A zurück?

Answer 1

Wenn \(\lambda\) ein EW von \(xx^*\) ist, dann ist \(\lambda-2\) ein EW von \(xx^*-2I_n\). Warum sollte \(\lambda=x^*x\) der einzige EW sein?

Comments

Auch wenn die Frage etwas doof klingt, aber kannst du mir erklären, warum \(\lambda-2\) ein EW ist? Stehe etwas auf dem Schlauch.

\(\lambda=x^*x\) ist nicht der einzige EW. Es gibt noch \(n-1\) weitere, jedoch sind diese wegen des Ranges von \(rank(xx^*)≤1\) alle null. \(\lambda=x^*x=0\), falls \(x=0_v\)

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Wenn \(v\) ein EV von \(xx^*\) zum EW \(\lambda\) ist, dann gilt
\((xx^*-2I_n)v=xx^*v-2I_nv=\lambda v-2v=(\lambda-2)v\).
Also ist \(v\) ein EV von \(xx^*-2I_n\) zum EW \(\lambda-2\).