Was ist ein Beweis? Und wie "weit" muss man erklären, damit etwas ein Beweis ist?

Question

Angenommen, in einer weit entfernten Galaxie gibt es auf einem Planeten Lebewesen mit einem IQ, der weit größer als 1 Million ist. Würde solch ein Wesen auf eine mathematische Aussage blicken, bräuchte es keinen Beweis, damit dieses Lebewesen erkennt, dass die Aussage wahr ist. Es würde sofort erkennen, dass $$a^n + b^n = c^n~mit~n \geq 3, a,b,c \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}$$ keine Lösungen hat. Es wäre kein 300 Seiten langer Beweis dafür nötig. So wie wir nicht beweisen müssen, dass x < 2x mit x > 0 ist.

Das bringt mich zu der etwas philosophischen Frage, ob ein Beweis einer etwas komplexeren Aussage nicht einfach ein "herunterbrechen" auf einfachere logische Teilaussagen ist, die für einen Menschen sofort ersichtlich wahr sind? Beziehungsweise es ist das Eingeständnis, dass Menschen nicht intelligent genug sind, um sofort die Logik hinter einer komplexen Aussage zu erkennen.

Und das wiederum bringt mich zu der mathematisch-technischen Frage, wie weit ein Beweis denn geführt werden muss? Verschiedene Menschen besitzen unterschiedliche Intelligenz und unterschiedliche Begabung für Logik/Mathematik. Der eine braucht keinen Beweis dafür, dass $$a + b = c~mit~a,b~gerade \Rightarrow c~gerade$$, der andere braucht eine logische Erklärung bzw. einen Beweis $$a = 2m, b = 2n, a + b = 2m + 2n = 2(m+n)~gerade$$.

Bei manchen Aufgaben zu Beweisen im Mathematikstudium (angewandte Mathematik bei mir) habe ich das Gefühl, dass ich nichts weiter erklären muss, weil die Wahrheit der Aussage offensichtlich ist. Wenn in der Aufgabe aber steht "Beweisen Sie...", komme ich mir etwas blöd vor und weiss nicht so recht, wie ich weiter vorgehen soll ^^

Also was meint ihr: Wie weit muss ein Beweis gehen?

Bin gespannt auf eure Antworten.

Grüße,

Thilo

Comments

Sehr schöne Frage, das Einführungsbeispiel mit dem ultra-intelligenten Außerirdischen ist genial :)

Answer 1

Hi,

es kann keinen I.Q. von einer Million geben:

https://de.wikipedia.org/wiki/Intelligenzquotient

$$a^n+b^n=c^n mit n≥3,a,b,c∈Z,n∈N$$ hat Lösungen, z.B. (a,b,c)=(0,0,0) oder (1,0,1) ....

Und wieso müssen wir nicht beweisen, dass x < 2x mit x > 0 ist. (Wo soll das überhaupt gelten?)

In der mathematik muss jede Aussage bewiesen werden.

Man gewöhnt sich nur mit der Zeit an den beweis einfacher Aussagen nicht mehr hinzuschreiben, weil man davon ausgeht, dass der Beweis dem leser bekannt ist (dem Schreiber natürlich auch.)


Warum brauchen manche Leute keinen Beweis für bestimmte Aussagen:

Weil sie ihn  bereits kennen.


Wenn ein Erstsemester mir sagt (Tutorium, Vorlesung etc.. ), dass etwas offensichtlich sei ist meine Antwort immer die Gleiche:

Wenn es offensichtlich ist, kann man es ja sehr schnell beweisen. Also schreibe den Beweis hin. Wenn dir das nicht gelingt ist die Aussage wohl doch nicht offensichtlich.


Im weiteren Verlauf deines Studiums werden dir zunehmend mehr "Lücken" im Beweis durchgelassen wohl man davon ausgeht, dass dir bekannt ist wie die Lücken zu schließen sind (und weil die Beweise dann extrem lang und wiederholend würden)