Grenzproduktivität anhand einer Ertragsfunktion errechnen

Question

Aufgabe:

Anhand einer Ertragsfunktion (siehe Bild) die Grenzproduktivität errechnen.

Problem/Ansatz:

Die Formel um die Grenzproduktivität zu errechnen ist bekannt (siehe Bild). Allerdings weiß ich nicht mehr wie ich sie anwenden kann.

Wenn ich mich nicht irre wird hier die „partielle Ableitung“ vom Ertrag x nach dem Faktor r_v.

Was versteht man noch gleich unter der partiellen Ableitung und wie wende ich sie hier an?

Answer 1

Was versteht man noch gleich unter der partiellen Ableitung und wie wende ich sie hier an?

Deine Ertragsfunktion  x(r_v)  ist nur von einem Faktor (r_v) abhängig. Dann ist die partielle Ableitung einfach die "normale" Ableitung:

P_G(r_v) = x'(r_v) = 35,75 + r_v - 1/3 r_v²

Das gesuchte Maximum findet man an der größeren Nullstelle von P_G  zum Beispiel mit der pq-Formel [ Kontrolle: r_vmax ≈ 11,93 ]

Gruß Wolfgang

Comments

Ach ja, das stimmt natürlich, vielen Dank!

Wenn ich dann im zweiten Schritt die abgeleitete Funktion gleich 0 setze, gehe ich wie folgt richtig vor?

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so kann man das nicht rechnen!  pg-Formel!

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Die musste ich mir gerade noch einmal ins Gedächtnis rufen. Ich verwende sie trotzdem falsch bzw. komme nicht weiter. Habe ich hier einen Fehler gemacht?

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Jetzt müsste ich es haben.

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Ich stocke ebenfalls an der zweiten Frage der selben Aufgabe. Es soll bewiesen werden, dass die Kurve der Grenzerträge das Maximum der Kurve der Durchschittsertrage schneidet.

Dafür habe ich zuerst die Funktion der Durchschnittserträge errechnet und diese Null gesetzt, um ihr Maximum zu finden. Diesen Wert habe ich dann in beide Funktionen eingesetzt, da hier ihr Funktionswert gleich sein sollte, ist er aber nicht.

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x'(r_v) = 35,75 + r_v - 1/3 r_v²   =  - 1/3 r_v²  + r_v + 35,75  =  0 |  * -3

                                                     r_v² - 3r_y -  106,5 = 0

                                               r_v =  11.92832680 ∨ r_v = -8.928326807

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Abr wieso sollt das dritte Element der abgeleiteten Funktion -1/3 rv^2 sein?

Wenn man -1/3 rv^3 ableitet erhält man doch -rv^2 oder nicht?

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Ich lese hinten  .. - 1/9 r_v³

[ - 1/9 · x³ ] '  = - 1/9 · 3x²  = - 1/3 · x²

Wenn da -1/3 steht, hast du recht.

[ Faktor- und Potenzregel ]

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Ach so nein, das liegt an meiner Schrift entschuldigung, es steht dort -1/3.

Stellt sich mir weiterhin die Frage weshalb ich nicht beweisen kann, dass die Funktion des Grenzertrages die Funktion des Durchschnittsertrages im Maximum schneidet.

Habe ich vielleicht die Funktion des Durchschnittsertrages bzw. sein Maximum falsch errechnet?

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... weshalb ich nicht beweisen kann, dass die Funktion des Grenzertrages die Funktion des Durchschnittsertrages im Maximum schneidet.

Das tut sie doch gar nicht

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Ja das sagt auch meine Berechnung aber der zweite Aufgabenteil lautet: „Zeigen Sie anhand obiger Zahlen [Produktionsfunktion x(r_v)], dass der Grenzertrag durch das Maximum des Durchschnittsertrages verläuft.“ Anscheinend IST es der Fall, ich muss es nur noch beweisen.

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Nach der Definition im Photo ist der Durchschnittsertrag  (ich setze r = r_v)

Durchschnitstertrag \(\overline{x}=x/r\)   

x(r) einsetzen:

\(\overline{x}=\dfrac{35,75·r+\frac{1}{2}·r^2-\frac{1}{3}·r^3}{r} \)

Da kannst du r kürzen, die Ableitung = 0 setzen und diese Nullstelle (r₀ = 3/4)  in \(x'\) und in \(\overline{x} \) einsetzen.

Beides ergibt den Wert  35,9375

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Nachtrag  #########:

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Aber es muss doch heißen (35 3/4 r_v + 1/2 r_v² - 1/3 r_v³) / r_v oder wie kommst du auf 1/3 als erstes Element des Zählers?

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Oje, dass ich so lange gebraucht habe... Ich habe natürlich vergessen die Funktion der Durchschnittserträge abzuleiten, bevor ich sie Null gesetzt habe. Damit ist die Aufgabe vollständig gelöst.