Starke Induktion. Schokoladetafel aus n Stückchen wird entlang der Bruchlinien gebrochen.

Question

Eine tafel schokolade bestehe aus n = kl kleinen Stückchen. Man breche die Tafel entlang der vorgegebenen Bruchlinien so lange, bis alle Stücken getrennt sind. S(n) bezeichne die Minimalzahl der Brüche, die für eine Tafel mit n Stückchen notwendig sind.

nun soll diese aufgabe anhan der starken(?) induktion gelöst werden...die "starke"induktion hatten wir noch nie behandelt.weiss jemand inwiefern man das beweist??

Comments

Vollständige Induktion sollte eigentlich 'stark' genug sein. Da n = k*l könnte es sein, dass man nach k und nach l eine Induktion durchführt.

Schau aber vielleicht mal hier rein: https://www.mathelounge.de/54175/beweis-schokoladentafel-zerlegen

Answer 1

Zu Anfang hat man eine ganze Tafel schokolade - also 1 Teil.
Bricht man jetzt ein Teil durch hat man 2 Teile. Bricht man davon wieder ein Teil durch hat man 3 Teile.

Mit jedem Bruch wird also ein Teil in 2 Teile zerlegt und man erhält insgesamt 1 Teil mehr.

Daher braucht man bis die Tafel in n Teile zerlegt ist n - 1 Brüche oder?

Comments

okay, das macht sinn! das mit dem n-1 ist auch logisch...nur wäre ich nicht selber drauf gekommen^^danke!
nun stellt sich mir die frage,wie ich meine gleichung aufstelle...damit ich die induktion durchführen kann?

:S

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Ich kenne Diese Aufgabe und ich denke, ganz so einfach ist es nicht. Wenn man sich jede der Bruchlinien als einen ganzen Bruch vorstellt, kann man mit zwei Brüchen entweder 3 oder 4 Teile erzeugen, jenachdem wie lang man die Bruchlinien erzeugt.

Dieser Vorstellung nach sind die Anzahl der erzeugten Stücke in der Regel n= (q+1)*(l+1) wobei q für die quer laufenden Brüche steht und l für die längs laufenden.

Da hier nach der Mindestzahl der Brüche gefragt ist, denke ich kommt die Idee mit n-1 nur wirklich zum Tragen, wenn nach teilerfremden n gesucht wird. Ansonsten sucht man zwei Zahlen, die der obigen Gleichung genügen. zB n=6 -> q = 1, l = 2  . Die Anzahl der Brüche ist also 3, nicht 5

Keine Ahnung, ob das damit gemeint ist. Würde micht mal interessieren, in welche Richtung die Diskussion geht, da die Aufgabe aber zu morgen ist, denke ich nicht dass sie lange dauern wird ;)

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achso und bezüglich starker Induktion, die funktioniert wie die vollständige, nur dass du davon ausgehst, dass die Gleichung für 1 bis n schon gilt und Du einfach noch +1 beweist, wie bei der vollständigen eben auch. der Unterschied liegt im weglassen des Induktionsanfangs.

fröhliches Beweisen noch :)

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ah ok! vielen dank :) nuur..wie sieht denn die formel aus, mit der ich die inudktion durchführen kann?^^das beweisen an sich wäre sicherlich nicht so schwer...

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na, wenn man von der ersten Antwort ausgeht, dann S(n) = n-1  ∀n∈ℕ. Da begründest Du im I.S. einfach, dass mit jedem Bruch ein Stück dazu kommt. → S(n+1) = S(n) + 1 ⇒ S(n+1) = (n-1) + 1 = n

Für meinen Ansatz habe ich (noch) keine Lösung. Ich denke das ganze kann entweder zu einfach (siehe oben) oder recht kompliziert für eine 4Punkte Aufgabe sein.