Lineare Unabhängigkeit: Beweisen Sie, dass (1, √5) in ℝ linear unabhängig über ℚ ist.

Question

Ich habe heute folgende Aufgabe erhalten:

Beweisen Sie, dass (1, √5) in ℝ linear unabhängig über ℚ ist.

Bewiesen ist bereits, dass √5 irrational ist. Wie gehe ich jetzt an diese Aufgabe ran? Mir ist bereits klar, dass ich zeigen muss, dass

λ₁ * 1 + λ₂ * √5 = 0

also λ₁=λ₂=0 gilt.

Außerdem muss gelten, dass √5∈ℝ und √5∉ℚ , da √5 irrational ist.

Comments

Bin jetzt etwas weiter:

λ₁ * 1 + λ₂ * √5 = 0

λ₂ * √5 = - λ₁

√5 =- (λ₁/λ₂)

Ist nicht wahr, da √5 nicht also Bruch darstellbar ist, da √5 irrational ist.

Answer 1

Gut: Erwähne noch, dass 'über Q' bedeutet, dass Lambda1 und Lambda2 aus Q stammen müssen.

λ₁ * 1 + λ₂ * √5 = 0

λ₂ * √5 = - λ₁       

.                  Dieser Schritt setzt voraus, dass Lambda2 ≠ 0

√5 =- (λ₁/λ₂)

Ist nicht ein Widerspruch, da √5 nicht also Bruch darstellbar ist, da √5 irrational ist.

Soweit gut.

Denn Fall Lambda2 = 0 kannst du sicher auch noch erledigen. Da folgt ja dann gleich, dass Lambda1 = 0.