Für welche reellen Zahlen a ∈ ℝ ist (x2+2x+1, 2x2−x, ax2−1) ∈ ℝ[x]3 linear unabhängig?

Question

Aufgabe:

(i) Für welche reellen Zahlen a ∈ ℝ ist (x²+2x+1, 2x²−x, ax²−1) ∈ ℝ[x]³ linear unabhängig?

(iii) Zeigen Sie, dass ((1, 1, 1),(x, y, z),(x², y², z²)) ∈ (ℝ³)³ für paarweise verschiedene reelle Zahlen x, y und z linear unabhängig ist.

Answer 1

Zu i): Schreibe die Vektoren als Matrix indem du de Vektor (x²,x,1) mit dieser von Rechts multiplizierst. Dann sind deine Vektoren nur noch Zahlen wie gewohnt und nun prüfe auf lineare Unabhängigkeit.

Text erkannt:

\( \begin{array}{c}{\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ a & 0 & -1\end{array}\right]} \\ {\left[\begin{array}{l}x^{2} \\ x \\ 1\end{array}\right]}\end{array} \)

Diese beiden Multiplizieren

Answer 2

Zu (ii):

Die Berechnung der Determinante, deren Zeilen die angegebenen Vektoren

sind, liefert \((z-x)(z-y)(y-x)\neq 0\)

Suche mal im Internet nach der Vandermonde-Determinante.