Ganzrationale Funktion dritten Grades

Question

Aufgabe:

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Tiefpunkt in T (2/8) und einen Wendepunkt an der Stelle x=4 mit der Steigung -3 hat. Carlotta zeigt André das Ergebnis ihrer Rechnung:

f(x)= 1/4x^3 - 3x^2 + 9x

André zeichnet den Graphen der Funktion f mit dem Rechner und sagt: „Die Zeichnung passt aber nicht zu den Bedingungen.“ Überprüfen Sie Carlottas Ergebnis und Anrdrés Aussage und nehmen Sie Stellung.

Problem/Ansatz:

Also ich weiß, dass ich mit den gegeben Werten erstmal die Bedingungen aufstellen muss, wie genau die lauten weiß ich aber nicht und wie ich danach weitermachen muss und wie ich auf eine Funktionsgleichung dadurch komme weiß ich auch nicht.

Answer 1

Du hast zwei Möglichkeiten:

1.) Du prüfst mit der vorgegebenen Funktion, ob die Bedingungen aus dem Text erfüllt sind.

2.) Komplizierter, aber kann für die Übung nicht schaden: Du stellst anhand der Bedingungen die Funktion auf, um zu sehen, ob Carlotta richtig lag:

- Tiefpunkt in T (2/8) : also f(2)=8 und f'(2)=0

- Wendepunkt an der Stelle x=4 mit der Steigung -3 : also f''(4)=0 und f'(4)=-3

Answer 2

Nutze: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Wie man sieht entsteht an der Stelle 2 kein Tiefpunkt sondern ein Hochpunkt. Es gibt also keine Funktion 3. Grades, die die Bedingungen aus der Aufgabe erfüllt.

Answer 3

f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x + d
f ´( x ) = 3ax^2 + 2bx + c
f ´( x ) = 6ax + 2b
Tiefpunkt in T (2/8)
f ( 2 ) = a * 2^3 + b * 2^2 + c * 2 + d = 8
a * 8 + b * 4 + c * 2 + d = 8
f ´( 2 ) = 3a*2^2 + 2b*2 + c = 0
12a + 4b + c = 0
und einen Wendepunkt an der Stelle x=4
f ´( 4 ) = 6a*4 + 2b  = 0
24a + 2 b = 0
mit der Steigung -3 hat
f ´( 4 ) = 3a *4^2 + 2b*4 + c = -3
48a + 8b + c = -3

8a  + 4b  + 2c + d = 8
12a + 4b + c = 0
24a + 2 b = 0
48a + 8b + c = -3

Dies als lineares Gleichungssystem lösen.
Die angegebene Lösung stimmt.

Bei Bedarf nachfragen.